Chuyên đề: Đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề "Đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức" cung cấp cho các bạn 5 dạng đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức. Với các bạn đang học tập và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức CHUYÊNĐỀ:ĐỔIBIẾNTRONGCHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨC *D ạng1:Dựđoánđượcđiềukiệnxảyradấubằng:Vídụ1:Chobasốthựca,b,cthỏamãnđiềukiệna+b+c=1.Chứngminhrằng*Nhậnxét:Dấubằngxảyrakhia=b=c=1/3Đặta=x+1/3,b=y+1/3,c=z+1/3.Từa+b+c=1suyrax+y+z=0KhiđóBĐTcuốiluônđúngnênBĐTđãcholuônđúng.Dấubằngxảyrax=y=z=0a=b=c=1/3Vídụ2:Cho.Chứngminhrằng:.*Nhậnxét:Dựđoánđẳngthứcxảyrakhia=b=1.Dovậyđặt.Từgiảthiếtsuyra.Tacó:(Đúngvìx+y0)Đẳngthứcxảyra x=y=0haya=b=1.VậybấtđẳngthứcđượcchứngminhVídụ3:Cho.Chứngminhrằng: C=*Nhậnxét:Dựđoánđẳngthứcxảyrakhia=1;b=2. Dovậytađặt,vớix0.Từgiảthiếtsuyra.Tacó:C== ==(vìx 0).Đẳngthứcxảyra x=0hoặcx=1tứca=1,b=2hoặca=0,b=3.VậyC0Vídụ4:Chobasốa,b,cthỏamãnChứngminhrằnga+b+c≥16.*Đặta=4+x;b=5+y;c=6+z.Từgiảthiếtsuyrax,y,z≥0Giảsửa+b+c Tacó: B= Đẳngthứcxảyra x=0,haya=b=1.VậyB2Vídụ8:Choa4.Chứngminhrằng:E=.*Nhậnxét:Dựđoánđẳngthứcxảyrakhia=4. Dovậyđặt.Từgiảthiếtsuyrax0. Tacó:E=. Đẳngthứcxảyrax=0haya=4.VậyE0Vídụ9:Choab1.Chứngminhrằng: .*Nhậnxét:Dựđoánđẳngthứcxảyrakhia=b=1.Dovậyđặt.Tacó:ab1 Mặtkhác:Lạicó:,vớimọix,ynêntacó:(Đúngvìxy+x+y0)Đẳngthứcxảyra x=y=0haya=b=1.VậyBĐTđượcchứngminh*BàitậptựluyệnBài1.1:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau: a)Choa,b>0thoảmãna+b=1.Chứngminh:. b)Choa+b+c+d=1.Chứngminh:. c)Choa+b+c3.Chứngminh:. d)Choa+b>8vàb 3.Chứngminh:.Bài1.2:Choa,b,clàcácsốdươngvà.Chứngminh:8abc1Bài1.3:Chobasốa,b,ckhôngâmthoảmãn:a+b+c=1.Chứngminh: *D ạng2:Chobiếtđiềukiệncủatổngcácbiếnnhưngkhông(hoặckhó)dựđoánđượcđiềukiệncủabiếnđểđẳngthứcxảyra:Vídụ10:Choa1;a+b3.Chứngminhrằng:F=*Nhậnxét:Dấubằngởđâykhôngxảyratạicácđiểmcựcbiênlàa=1vàb=2.Tađặtẩn phụnhưsau:Đặta=1–xvàa+b=3+y.Từgiảthiếtsuyrax,y0nêntacó:b=2+x+y.Từđó:F== =Đẳngthứcxảyra x=vày=0haya=vàb=.VậybấtđẳngthứcF0đượcchứngminh.Vídụ 11:Choa,b,clàđộ dàibacạnhcủamộttamgiáccóchuvibằng2.Chứng minhrằng:a2+b2+c2+2abc2anên0Vídụ13:Chocácsốthựca,b,cthuộckhoảng(0;1)thỏamãnabc=(1–a)(1–b)(1–c).Chứngminhrằnga2+b2+c2≥3/4(1)ĐặtTươngtựđặt.Từgiảthiếttacó(2)Xéthiệu.Thay(2)vào(3)tađượcT=x2+y2+z2–4xyz.TacầnchứngminhT≥0Xétcáctrườnghợpsau:(i) Cả3sốx,y,zđềuđươnghoặcđềuâmthìkhôngthỏamãn(2)(ii) Cómộtsốâmcònhaisốkiadươngthìtừ(4)T≥0(iii) Cóhaisốâmcònsốkiadương.Giảsửx>0,y,z0vàz1=z>0thìtừ(4)tacóT=x2+y12+z12–4xy1z1≥x2+2y1z1–4xy1z1=x2+2y1z1(1–2x)≥0VậyBĐT(1)đượcchứngminhVídụ14:Choa,b,c[1;3]vàa+b+c=6.Chứngminhrằnga) b)Đặta=x+1;b=y+1;c=z+1.Khiđóx,y,z[0;2]vàx+y+z=3Giảsửx=max{x;y;z}suyra:x+y+z=33x 1x2 (x–1)(x–2)0nên:.Tứclà:(*).Tươngtựtachứngminhđược(**)a)Tacó:(1)Thay(*)vào(1)tacó:làđiềuphảichứngminh.b)Tacó:(2)Thay(*)và(**)vào(2)tacó:làđiềuphảichứngminh*Bàitậptựluyện:Bài2.1Chứngminhrằng:Nếua≥3,b≥3,a2+b2≥25thìa+b≥7Bài2.2Choa>c>0,b>c.ChứngminhrằngBài2.3Chobasố0≤a,b,c≤2vàa+b+c=3.Chứngminhrằng a. a2+b2+c2≤5b.a3+b3+c3≤9Bài2.4Chobốnsốa,b,c,dthuộckhoảng(0;1)thỏamãnđiềukiện:(1–a)(1–b)(1–c)(1–d)=abcd.Chứngminhrằnga2+b2+c2+d2≥1.*D ạng3:Bấtđẳngthứcvớiđiềukiệnchobabiếncótíchbằng1Cách1:Đặt,vớix,y,z0.Sauđâylàmộtsốvídụlàmsángtỏđiềunày:Vídụ15:Choa,b,clàcácsốthựcdươngthoảmãnabc=1.Chứngminhrằng*Nhậnxét:a,b,clàcácsốthựcdươngvà ...