Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số

Tham khảo tài liệu chuyên đề giá trị cực trị của hàm số, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số Chuyên đềGiá trị cực trị của hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn Nội dung Tóm tắt lý thuyết Ví dụ minh hoạ Bài tập tự giải Giá trị cực trị của hàm sốTóm tắt lý thuyết Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau: • Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) • f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia) • Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nên - f(x1) = Ax1 + B f(x ) = Ax + B Giá trị cực trị của hàm số u(x) y= Đối với hàm hữu tỉ v(x) . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0) ≠ 0 u(x 0 ) u(x 0 ) y(x 0 ) = 0 ⇔ u(x 0 )v(x 0 ) - u(x 0 )v(x 0 ) = 0 ⇔ = thì v(x 0 ) v (x 0 ) u(x 0 ) u(x 0 ) y(x 0 ) = = Vậy giá trị cực trị của hàm số là v(x 0 ) v (x 0 ) Giá trị cực trị của hàm sốVí dụ minh hoạ - Ví dụ 1 x 2 + (2m + 1)x + m2 + m + 4Cho hàm số y = . Chứng minh rằng đồ thị hàm số 2(x + m)luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi. Lời giải 1 2  x1 = 2 − m ≠ −mTa có y = − = 0 ⇔ (x + m)2 − 4 = 0 ⇔  2 (x + m)2  x 2 = −2 − m ≠ −mHàm sè có 2 ®iÓm cùc trÞ x1 = 2 - m và x 2 = - 2 - m 2x1 + 2m + 1 5 2x + 2m + 1 3⇒ y(x1 ) = = ; y(x 2 ) = 2 =− 2 2 2 2VËy ®å thÞhàm sè luôn có 2 ®iÓm cùc trÞ  5  3M  2 − m;  ; N  −2 − m; −  và  2  2 2  5  3 MN = [ (2 − m) − ( −2 − m)] +  −  −   = 4 2 kh«ng ®æi 2  2  2  Giá trị cực trị của hàm sốVí dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2 x 2 + mx − 2Cho hàm số y = . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm mx − 1cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆:x + 2y – 3 = 0. Lời giải mx − 2x + m 2Ta có: y = (mx − 1)2Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm   m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 1    phân biệt khác ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − m2 > 0 ⇔ −1 < m < 1 m  1     f   ≠ 0 1 m − ≠ 0 m ≠ ±1  m   m Giá trị cực trị của hàm sốVí dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)⇔ m ∈ ( −1;1) { 0}Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: 2x1 + 2m 2 y1 = y(x1 ) = = x1 + 2 m m 2x + 2m 2 y 2 = y(x 2 ) = 2 = x2 + 2 m m 2Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình: y = x+2 m 2Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = x+2 m Giá trị cực trị của hàm sốVí dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt) 1 3Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với ∆ : y = − x+ 2 2 2  1thì . − = −1 ⇔ m = 1 (không thỏa mãn) m  2  Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên 2đường thẳng vuông góc với y = x+2 ...