CHUYÊN ĐỀ: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Trong phần này có các dạng bài tập sau:  Dạng 1: biến đổi các biểu thức nhờ các công thức cơ bản để đơn giản biểu thức, giải phương trình, bất phương trình. Dạng 2: Các bài toán về quy tắc đếm Dạng 3: áp dụng công thức nhị thức Newton để chứng minh các đẳng thức
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT THỐNG KÊ CHUYÊN ĐỀ: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT THỐNG KÊ CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP GIẢI, VD MINH HOẠTrong phần này có các dạng bài tập sau: Dạng 1: biến đổi các biểu thức nhờ các công thức cơ bản để đơn giản biểu thức, giải phương  trình, bất phương trình. Dạng 2: Các bài toán về quy tắc đếm  Dạng 3: áp dụng công thức nhị thức Newton để chứng minh các đẳng thức  Dạng 4: Số hạng trong khai triển nhị thức Newton. Dạng 1: : Biến đổi các biểu thức nhờ các công thức cơ bản để đơn giản biểu thức, giải phương trình, bất phương trình.PP: Cơ sở của pp là thực hiện các bước sau n! n! k ; Cnk  Biến đổi sơ cấp với chú ý Pn  n !; An  . - (n  k )! k !(n  k )! Rút gọn suy ra các đẳng thức - Đánh giá suy ra các bất đẳng thức -Trong quá trình giải có thể áp dụng các bước trung gian: quy nạp, phản chứng.VD1: CM với mọi số nguyên dương chẵn n có: 2n 1 1 1 1   .....   (1) 1!(n  1)! 3!(n  3)! (n  1)!.1! n !Đặt S = VT(1). Ta có : n! n! n!S .n !    .....  1!(n  1)! 3!(n  3)! (n  1)!.1!  Cn  Cn  ...  Cn 1 1 3 nGiáo viên: Fan Zun 1 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT THỐNG KÊ (1  1)n  Cn  Cn  ....  Cn 0 1 n  Mặt khác n 0 1 nn (1  1)  Cn  Cn  ....  (1) Cn Suy ra Cn  Cn  .....  Cn 1  2n 1 với mọi n chẵn  dpcm . 1 3 n n !  2n1 n  *, n  3 CM (*)VD2:Ta dùng quy nạp toán họcKhi n = 3 có 3!  6  22  4  (*) đúng.Giả sử (*) đúng đến n =k nghĩa k !  2 k 1 k  *, k  3 . Ta CM (*) đúng n = k+1 tức (k  1)!  2k .Thật vậy từ k !  2 k 1  (k  1).k !  (k  1).2k 1 .Do k  3  (k  1)  4  2k 1 (k  1)  4.2k 1  2 k  ( k  1)!  2 k .VD3: Cho cấp số cộng u1 , u2 ,...un , un 1 . CM : uk 1 u1  uk 1 n  1 n1 2k n  C k  2 . 2n 1 . k . k 0 k 1 nGiảiDo u1 ,....un 1 là 1 cấp số cộng nên k  0, n có : u1  un1  uk 1  un k 1Mà Cn  Cn  k k n k  0,....n nên : n uk 1 n  uk 1 un  k 1  n uk 1  un k 1 n 12   k  n k     (u1  un1 ). k . k nk k  0 Cn k 0  Cn Cn  k  0 Cn k 0 Cn n  1 n1 2k n 1  C k 2 k 1 k (2).  n 1 Đẳng thức cần chứng minh trở thành: k 0 nTa CM (2) bằng quy nạp 1 1 1 1 CVới n = 1:   1 2 k 0 C1 C1 k 0 nGiáo viên: Fan Zun 2 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT THỐNG KÊ 21 22 2 VP(2)= 2  (  )  2 =VT(2). Vậy (2) đúng với n = 1. 2 12Giả sử (2) đúng đến n = p. Ta CM nó đúng với n = p+1. p n 1 1 1 1Ta có :  k  0   k i (3) k  0 C p 1 C p 1 k  0 C p 1 ( p  1)! p 1 k k 1 C p 1  .C p .  (k  1)!( p  k )! k  1 p k 1 p  k 1  p 1 1 p k 1 p2 p 1 1 1 1 C  C k  1  2( p  1) .  C k  C k 1   1  2( p  1)  C k  Từ (3) suy ra p  k 0 ...