CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt hình học không gian đạt kết quả cao
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUANCHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUANA.Tóm tắt lí thuyết:I.Góc giữa hai đường thẳng: 1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đườngthẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b.  a // a 2.  thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và b // b b’ 3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù.II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: V và mặt phẳng (α ) . Nếu V không vuông góc với (α ) , khi 1. Cho đường thẳng đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc V ’ của V lên mặt phẳng (α ) . A A 2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù. 3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (α ) .khi đó góc giữa đường thẳng ∆ và (α ) không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và m. 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)). 4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa đường thẳng a và (P). 5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng ∆ ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường thẳng ∆ và a bằng 90o . (V, (α )) + (·V, a ) = 90o · .Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng 6 · · ∆ ta có: (V, (α )) + (V, ( β )) = 90o . 7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi đó A B = AB cos( ¼, (α )) . Do đó A B ≤ AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB AB song song với (α) hoặc nằm trên (α).III.Góc giữa hai mặt phẳng: 1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β). a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau, a ta nói góc giữa chúng bằng 0. b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. b Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β) O m và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O. Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. 2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù. (α ) //(α ) 3. Nếu  ( β ) //( β ) · · Thì ((α ), ( β )) = ((α ), ( β )) . V⊥ (α ) · ¶ thì (V, a) = ((α ), ( β )) . 4.Nếu  a ⊥ ( β ) · 5.Nếu (α ) ⊥ ( β ) thì ((α ), ( β )) = 900 . 6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được tính bằng công thức · S(H) = S(H’). Cos((α ), ( β )) .Do đó S(H) ≤ S(H’). 2B.Một số dạng toán liên quan: I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:Bài 1:Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượtlà trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o . ·Tính MN,SO và ( MN , ( SAO)) .Hướng dẫn giải: S M A B P N O H D CGọi P là trung điểm AO.Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó:· ·( MN , ( ABCD)) = MNP = 60o.Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có 5a 2NP = CN + CP − 2CN .CP.cos 45 = 2 2 2 o . 8 PN 5Trong tam giác vuông MNP ta có MN = =a o cos60 2 15 15và PM=PN.tan 60o = a ⇒ SO = 2 MP = a . 8 2Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC). 3 · ·Do đó ( MN , ( SAC )) = NMH . ...