Chuyên đề: Lượng giác và ứng dụng

Với chuyên đề phương trình lượng giác và ứng dụng các bạn sẽ có thêm tài liệu tham khảo hữu ích cho học tập. Chuyên đề sẽ mang đến cho các bạn những kiến thức về: Các dạng phương trình lượng giác, phương pháp giải phương trình lượng giác, ứng dụng lượng giác giải toán giải tích, lượng giác ứng dụng giải toán đại số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Lượng giác và ứng dụngChuyeân ñeà Löôïng giaùc vaø ÖÙng duïng http://www.ebook.edu.vn PHẦN I: LƯỢNG GIÁC ------------------------------------------- CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG) BÀI 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNI. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB): Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản.Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên nó mới có tênnhư vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác nếu giải được cũng phải đưa vềmột trong 3 PTCB sau đây: 1. sin x = α với α ≤ 1 , có nghiệm là: ⎡ x = arcsin α + k 2π ⎢ x = π − arcsin α +k2π (k ∈ Z) ⎣ 2. cos x = α với α ≤ 1 , có nghiệm là: x = ± arc cos α+k2π (k ∈ Z) 3. tgx = α có nghiệm là: x = arc tgα + kπ (k ∈ Z) (hay là cot gx = α có nghiệm là: x = arc cot gα + kπ ) (k ∈ Z) Chú ý: Trong các PTCB trên ta đã có sử dụng đến các hàm số lượng giác ngược: 1. Hàm y = arcsin x : Miền xác định: D = [ −1,1] ⎧ ⎡ π π⎤ ⎪ y ∈ ⎢− ; ⎥ y = arcsin x ⇔ ⎨ ⎣ 2 2⎦ ⎪sin y = x ⎩ 2. Hàm y = arccos x : Miền xác định: D = [ −1,1] ⎧ y ∈ [ 0; π ] ⎪ y = arc cos x ⇔ ⎨ ⎪cos y = x ⎩ 3. Hàm y = arc tgx : Miền xác định: D = R ⎧ ⎛ π π⎞ ⎪y ∈⎜ − ; ⎟ y = arc tgx ⇔ ⎨ ⎝ 2 2⎠ ⎪tgy = x ⎩ 4. Hàm y = arc cot gx : Miền xác định: D = R ⎧ y ∈ ( 0; π ) ⎪ y = arc cot gx ⇔ ⎨ ⎪cot gy = x ⎩Nhoùm hoïc sinh lôùp 11A1 6Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùcTa xét một số bài toán sau:Bài toán 1: Giải phương trình sau: cos ( 3π sin x ) = cos (π sin x ) Giải cos ( 3π sin x ) = cos (π sin x ) ⎡sin x = k ⎡3π sin x = π sin x + k 2π ⎡ 2π sin x = k 2π ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣3π sin x = −π sin x + k 2π ⎣ 4π sin x = k 2π ⎢sin x = k ⎣ 2 ⎡ k ≤1 ⎧k ∈ Z ⎪ ⎢ k Do ⎨ ⇔⎢k ⇔ ≤ 1 ⇔ k ∈ {0; ±1; ±2} ⎪ sin x ≤ 1 ⎩ ⎢2 ≤1 2 ⎣ ⎡ ⎡sin x = 0 ⎢sin 2 x = 0 ⎢ ⎢ 1 1 ⇔ ⎢sin x = ± ⇔ ⎢sin x = ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢sin x = ±1 ⎢ 1 ⎣ ⎢sin x = − ⎣ 2 ⎡ lπ ⎢x = 2 ⎢ ⎢ x = ± π + k 2π ⎡ lπ ⎢ 6 ⎢x = 2 ⇔⎢ ⇔⎢ (l ,k ∈Z ) ⎢ x = 5π + k 2π ⎢ x = ± π + kπ ⎢ 6 ⎢ ⎣ 6 ⎢ 7π ⎢x = + k 2π ⎣ 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ⎡ lπ ⎢x = 2 ⎢ (l ,k ∈Z ) ⎢ x = ± π + kπ ⎢ ⎣ 6Nhận xét: Đây là một PTLG mà việc giải nó rất đơn giản, mấu chốt của bài này là vị trí quantrọng của ‘k’. Đôi lúc vai trò của ‘k’ trong việc giải PTLG rất quan trọng.Việc xét điều kiện‘k’ có thể đưa đến một số PTLG khá hay liên quan đến việc giải một số bài toán đại số, sốhọc nhỏ mà ta sẽ gặp ở một số bài toán sau:Bài toán 2:(ĐH Tổng hợp Lômônôxôp khoa Tính Toán và Điều Khiển 1979-ĐHSPII 2000) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau: ⎡π ⎣8 ( ⎤ cos ⎢ 3x − 9 x 2 + 160 x + 800 ⎥ = 1 ⎦ ) GiảiNaêm hoïc 2006 – 2007 7Chuyeân ñeà Löôïng giaùc vaø ÖÙng duïng http://www.ebook.edu.vn Giả sử x là số nguyên thoả mãn phương trình, khi đó ta có: ⎡π ⎣8 ( ⎤ cos ⎢ 3x − 9 x 2 + 160 x + 800 ⎥ = 1 ⎦ ) ⇔ π 8 ( 3x − ) 9 x 2 + 160 x + 800 = k 2π ( k ∈ Z ) ⇔ 9 x 2 + 160 x + 800 = 3x − 16k ⎧3 x − 16k ≥ 0 ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪9 x ...