Chuyên đề số học: Bài toán chia hết

Chia hết là dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THCS, kèm theo đó là các bài toán khó và hay. Bài toán này xin gửi đến các bạn đọc phương pháp giải các bài toán chia hết : phương pháp xét số dư, phương pháp qui nạp, phương pháp đòng dư... Mời các em cùng tham khảo.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề số học: Bài toán chia hếtChương 3 Bài toán chia h t 3.1 Lý thuy t cơ b n 29 3.2 Phương pháp gi i các bài toán chia h t 31 Ph m Quang Toàn (Ph m Quang Toàn) .v n 4 hChia h t là m t đ tài quan tr ng trong chương trình S h c c a b cTHCS. Đi kèm theo đó là các bài toán khó và hay. Bài vi t này xin c 2gi i thi u v i b n đ c nh ng phương pháp gi i các bài toán chia h t:phương pháp xét s dư, phương pháp quy n p, phương pháp đ ng dư,v.v...3.1 Lý thuy t cơ b n h o3.1.1 u i Đ nh nghĩa v chia h tĐ nh nghĩa 3.1 Cho hai s nguyên a và b trong đó b = 0, ta luôn tìmđư c hai s nguyên q và r duy nh t sao cho Vv i 0 ≤ r < b. a = bq + rTrong đó, ta nói a là s b chia, b là s chia, q là thương, r là s dư.Như v y, khi a chia cho b thì có th đưa ra các s dư r ∈ {0; 1; 2; · · · ; |b|}.Đ c bi t, v i r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia h t cho b (ho c a làb i c a b, ho c b là ư c c a a). Ta kí hi u b | a. Còn khi a không chia 2930 3.1. Lý thuy t cơ b nh t cho b, ta kí hi u b a.Sau đây là m t s tính ch t thư ng dùng, ch ng minh đư c suy ra tr cti p t đ nh nghĩa.3.1.2 Tính ch tSau đây xin gi i thi u m t s tính ch t v chia h t, vi c ch ng minhnguyên thì:Tính ch t 3.1– N u a = 0 thì a | a, 0 | a. .v nkhá là d dàng nên s dành cho b n đ c. Ta có v i a, b, c, d là các sTính ch t 3.2– N u b | a thì b | ac.Tính ch t 3.3– N u b | a và c | b thì c | a. 4 h 2Tính ch t 3.4– N u c | a và c | b thì c | (ax ± by) v i x, y nguyên. c oTính ch t 3.5– N u b | a và a | b thì a = b ho c a = −b. i hTính ch t 3.6– N u c | a và d | b thì cd | ab. V uTính ch t 3.7– N u b | a, c | a thì BCNN(b; c) | a.Tính ch t 3.8– N u c | ab và UCLN(b, c) = 1 thì c | a.Tính ch t 3.9– N u p | ab, p là s nguyên t thì p | a ho c p | b.T tính ch t trên ta suy ra h quH qu 3.1– N u p | an v i p là s nguyên t , n nguyên dương thìpn | an .Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c3.2. Phương pháp gi i các bài toán chia h t 313.1.3 M t s d u hi u chia h tTa đ t N = an an−1 . . . a1 a0D u hi u chia h t cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 2|N ⇔ 2 | a0 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4; 6; 8} 5|N ⇔ 5 | a0 ⇔ a0 ∈ {0; 5} 4; 25 | N ⇔ 4; 25 | a1 a0 8; 125 | N ⇔ 8; 125 | a2 a1 a0D u hi u chia h t cho 3 và 9 3; 9 | N ⇔ 3; 9 | (a0 + a1 + · · · + an−1 + an )M t s d u hi u chia h t khác .v n 11 | N 101 | N ⇔ ⇔ 4 h 11 | [(a0 + a2 + · · · ) − (a1 + a3 + · · · )] 101 | [(a1 a0 + a5 a4 + · · · ) − (a3 a2 + a7 a6 + · · · )] 7; 13 | N 37 | N 19 | N ⇔ ⇔ ⇔ 2 7; 37 | [(a2 a1 a0 + a8 a7 a6 + · · · ) − (a5 a4 a3 + a11 a10 a9 + · · · )] c 37 | (a2 a1 a0 + a5 a4 a3 + · · · + an an−1 an−2 ) 19 | an + 2an−1 + 22 an−2 + · · · + 2n a03.2 h o Phương pháp gi i các bài toán chia h t3.2.1 i Áp d ng đ nh lý Fermat nh và các tính ch t c a chia h t u VĐ nh lý Fermat nhĐ nh lý 3.1 (Đ nh lý Fermat nh )– V i m i s nguyên a và snguyên t p thì ap ≡ p (mod p).Ch ng minh. 1. N u p | a thì p | (a5 − a). 2. N u p a thì 2a, 3a, 4a, · · · , (p − 1)a cũng không chia h t cho p. G i r1 , r2 , · · · , rp−1 l n lư t là s dư khi chia a, 2a, 3a, · · · , (p−1)a cho p. thì chúng s thu c t p {1; 2; 3; · · · ; p − 1} và đôi m t khác nhau (vì ch ng h n n u r1 = r3 thì p | (3a − a) hay p | 2a,Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c32 3.2. Phương pháp gi i các bài toán chia h t ch có th là p = 2, mà p = 2 thì bài toán không đúng). Do đó r1 r2 · rp−1 = 1 · 2 · 3 · · · (p − 1). Ta có a ≡ r1 (mod p) 2a ≡ r2 (mod p) ··· (p − 1)a ≡ rp−1 (mod p) Nhân v theo v ta suy ra 1·2·3 · · · (p−1)·ap−1 ≡ r1 r2 · · · rp−1 Vì U CLN (a, p) = 1 nên ap ≡ a (mod p). (mod p) ⇒ ap−1 ≡ 1Như v y v i m i s nguyên a và s nguyên t p thì ap ≡ a (mod p). .v n (mod p)lý còn đư c phát bi u dư i d ng sau: 4 hNh n xét. Ta có th ch ng minh đ nh lý b ng quy n p. Ngoài ra, đ nh 2Đ nh lý 3.2– V i m i s nguyên a, p là s nguyên t , U CLN (a, p) =1 thì ap−1 ≡ 1 (mod p).Phương pháp s o c d ng tính ch t chia h t và áp d ng đ nh lý ...