chuyên đề toán đại số 12: đại số sơ cấp

Tham khảo bài viết chuyên đề toán đại số 12: đại số sơ cấp, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
chuyên đề toán đại số 12: đại số sơ cấp Bài 1: CMR: tồn tại một số tự nhiên xChứng minh rằng tồn tại hai đường nằm ngang và hai đường nằm dọc mà giao điểm củachúng được đánh dấu cùng màu.Trả lời ≥ 1 vì nếu xét x = 0 thì quá tầm thường.Bài 1: Tất nhiên ta xétTa xét 16 số (25 − 1) với k = 1, 2, ..., 16. Ta phải cmr với một k nào đó số 25 − 1chia hết cho 17. Ta cm bằng phản chứng. Giả sử với mọi 1 ≤ ≤ 16 số (25 − 1)không chia hết cho 17. => trong 16 số trên không có 2 số nào cho cùng số dư khi chiacho 17. Thật thế nếu với 1 ≤ < ≤ 16 có (25 − 1) = 17 + và (25 − 1) =17 + – ⇒ 17( − ) = (25 − 1) − (25 − 1) = 25 (25 − 1)⇒ (25 − 1) chia hết cho 17 với n = j - i và 1 < ≤ 16 − 1 = 15trái với giả thiết là với ∀ ∈ [1,16] số (25 − 1) không chia hết cho 17Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17 và từ giảthiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17. Theo nguyên lý Dirichlet (16 số dưkhác nhau được xếp vào 16 ngăn kéo dư khác nhau từ 1 đển 16) thì với n nào đó mà 1 + ). Nếu 1 trong 5 số đó chia hết cho 5 ta có đpcm. Nếu không có số nào chia hếtcho 5 thì theo nguyên lý Dirichlet ít nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư (có 4 số dư 0là 1, 2, 3, 4), tức hiệu 2 số đó chia hết cho 5. Mà hiệu 2 số bất kỳ trong 5 số trên cũng làtổng của một số số của dãy đã cho (dpcm)Bài 3:Ta có tổng cộng tất cả 12 hàng, cột và đường chéo (5 hàng, 5 cột, 2 đường chéo). Cáctổng là những số thỏa mãn -5 1. Lấy điểm P2 là tâm kẻđường tròn C2 với bán kính bằng 1. Ngoài C1 và C2 không còn điểm nào đã cho Thật thếnếu P3 nằm ngoài C1 và C2 thì ta có P1P2 > 1, P1P3 > 1, P2P3 > 1, vô lý vì trong tg P1P2P3phải có 1 cạnh nhỏ hơn 1; 25 điểm nằm trong 2 đường tròn nên theo nguyên lý Dirichlettrong 1 đường tròn có ít nhất 13 điểm đã choBài 6: CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội số kia hay CMtrong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số này là bội số kia?Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005, 1006, ..., 2009) thì trong A không có số nào là bội của ≥ 2010 (tức 2*1005) nên các bội đó không nằm trongsố kia vì bội của mỗi số trongdãy, và do đó không thể có trong A.Bài 7;Ta xét biết đến cuối giải KHÔNG có trận nào hòa.Có tất cả 28 trận đấu (bằng 2C8, hoặc ai chưa học tổ hợp thì bằng 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1: đội đầu đá với 7 đội còn lại, 1 trong 7 đội đó đấu với 6 đội còn lại ...)Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội A, có số trân thắng ít nhấtlà 4. Gọi 4 đội thua A là B, C, D, E. 4 đội này có với nhau 6 trận đá, vậy theo nguyên lýDirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội B, có số trân thắng ít nhất là 2. Gọi 2 độithua B là C và D. Do không có trận hoà nên ta gọi đội thắng trong trân C-D là C. A, B,C, D là các đội cần tìm.Bài 8: CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1 hàng hoặc 1đường chéo là các số khác nhau có nghĩa là các tổng này không thể khác nhau từng đôimột?Ta có tổng cộng tất cả (2n + 2) hàng, cột và đường chéo (n hàng, n cột, 2 đường chéo).Các tổng là những số thỏa mãn 0