CHUYÊN ĐỀ TOÁN: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) của hàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ TOÁN: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ http://NgocHung.name.vnChuyeân ñeà 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐTrong bài này chúng ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và nghịch biến) củahàm số. Đồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính đơn điệu trong việc chứng minh bất đẳng thức, giải phươngtrình, bất phương trình và hệ phương trình.A. TÓM TẮT GIÁO KHOAGiả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K.I) ĐỊNH NGHĨA  Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x 2  K, x1  x 2  f  x1   f  x 2   Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x 2  K, x1  x 2  f  x1   f  x 2  Minh họa: y 2.5 y=f(x)=x4-2x2+2 2 1.5 1 0.5 x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 K=(1/2;1) K=(-1;0) -0.5  Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải  Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải  Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.II) CÁC ĐỊNH LÝ1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f (x)  0 với mọi x  K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f (x)  0 với mọi x  K  [ f (x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K] (dạng mệnh đề kéo theo)  [ f(x) nghịch biến trên K]  [ f (x)  0 với mọi x  K ]2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K b) Nếu f  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K c) Nếu f  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K  [ f (x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K] http://NgocHung.name.vn [ f (x)  0 với mọi x  K ]   [ f(x) nghịch biến trên K] [ f (x)  0 với mọi x  K ]   [ f(x) không đổi trên K]Chú ý quan trọng:Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nữa khoảng. Khi đó phải bổ sung giảthiếtHàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó. Cụ thể  Nếu hàm số liên tục trên đọan  a; b  và có đạo hàm f (x)  0 trên khoảng  a; b  thì hàm số f đồng biến trên đọan  a; b  Nếu hàm số liên tục trên đọan  a; b  và có đạo hàm f (x)  0 trên khoảng  a; b  thì hàm số f nghịch  biến trên đọan  a; b 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f  x   0 với mọi x  K và f  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K. b) Nếu f  x   0 với mọi x  K và f  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.Tính đơn điệu của hàm số bậc ba4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có f  x   3ax 2  2bx  c .a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên   f  x   3ax 2  2bx  c  0 x  b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên   f  x   3ax 2  2bx  c  0 x  B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁNI. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số.Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau a) y  f  x   x 3  x 2  x  3 b) y  f  x    x 3  3x 2  9x  11 x4 c) y  f  x   d) y  f  x    x 4  4x 2  3  2x 2  6 4 3x  1 x 2  2x  2 ...