Chuyên đề về bất đẳng thức cổ điển

Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì thi HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp hiện đại chẳng hạn như SOS;…. mà do chính người VN ta tìm ra.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề về bất đẳng thức cổ điển Chuyên đề về bất đẳng thức cổ điển Lương Hải Đăng 10T2 Trường THPT chuyên ĐHSPHNI. LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạocủa người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì thiHSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháphiện đại chẳng hạn như SOS;…. mà do chính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bấtđẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thichúng ta có đủ thời gian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳngthức cổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng thức.Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi (AM-GM) bunhia(Cauchy – Schwarz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số. Hai bất đẳng thức này tuynhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải dễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua mộtlượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thiOlympic toán hoặc trên những trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động.II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM–GM; CAUCHY- SCHWARZ VÀ ỨNG DỤNG1. Bất đẳng thức AM – GM. Với a1, a2…; an là n số thực không âm ta có: a1 + a2 + … + an-1 + an ³ n a1 a 2 ..a n -1 a n n Dấu “=” Û a1 = a2 = … = an Chứng minh bất đẳng thức này có khoảng hơn 40 cách nên xin dành lại chobạn đọc. 1 * Bất đẳng thức này rất quen thuộc và ứng dụng lớn nên nó sẽ là bất đẳngthức đầu tiên mà các bạn cần nhớ và chú ý là dấu “=” xảy ra khi : a1 + a2 + … + an-1 = an.2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (cs) *Với hai dãy số thực tùy ý a1 ;a2 … an và b1, b2, bn ta luôn có:( a12 + a 2 + .. + a n ) ( b12 + b2 + .. + bn ) ³ (a1b1+a2+b2+..anbn)2 2 2 2 2 Dấu “=” Û J số k sao cho aj = k.bj (Với J = 1, n ) *Hệ quả: (dạng cộng mẫu số) a 2 (a + a2 + ..an ) 2 a12 a 2 2 (Với xi > 0 , v = 1, n ) + + .. + n ³ 1 x1 + x2 .. + xn x1 xn xn Bất đẳng thức này còn có tên gọi là Engel hay Schwarz. Chứng minh bất đẳng thức (*) có nhiều cách nhưng có một cách này cácbạn nên nhớ: n å (a1 + a2 + ..an ) 2 ( b12 + .. + bn ) - (a1b1+a2+b2+..anbn)2 = (ajbJ - aJbi) 2 i ; j =13. Ứng dụng. *Bài toán 1: cho a, b, c ³ 0. CMR a b c 3 ³ (*)(BĐT Nesbit) + + b+c c+a a+b 2Cách 1: a 1 b 1 c 1 BĐT: (*) Û ( - )+( - )+( - )³0 b+c 2 c+a 2 a+b 2 a 1 b 1 c 1 - )+( - )+( - )³0( b+c 2 c+a 2 a+b 2 ( a - b) (b - c) (c - a ) 2 2 2 + + ³02(c + a)(c + b) 2(a + b)(a + c) 2(b + a)(b + c) (Đúng).Ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức Am-Gm để làm chặt.Với cùng điều kiện trênta có bất đẳng thức khoẻ hơn sau: 2 3 3 [(a - b)(b - c)(c - a)]2 a b c + + ³+3b + c c + a a + b 2 2 [(a + b)(b + c)(c + a)]2Cách 2: (a + b + c) 2 a2 b2 c2 a b c + + = + + ³ b + c c + a a + b a(b + c) b(c + a) c(a + b) 2(ab + bc + ca) (Cauchy – Schwarz dạng Engel) (a + b + c) 2 3 Mà : ³ Û 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ³ 0 2(ab + bc + ca) 2 Û (a-b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ³ 0 Þ Đpcm a 1Cách 3: Từ nhận xét: ( - )2 ³ 0 b+c 2 8a -1 8a - b - c 1 b+c a ³. = Þ 4( a + b + c ) b+c a 4 +1 b+c 8b - c - a 8c - b - a b cTương tự: ; ³ ³ 4(a + b + c) a + b 4(a + b + c) c+a Cộng ba bất đẳng thức lại thì ta có: (8a - b - c) + (8b - c - a ) + (8c - a - b) 3 a b c ³ = + + 4( a + b + c ) b+c c+a a+b 2 Þ Đpcm. Ngoài cách giải trên ta còn có khoảng hơn 30 cách nữa để chứng minh bấtđẳng thức Nesbit này.Lời giải bằng CS rất hiệu quả trong việc chứng minh bấtđẳng thức 3 biến đối xứng JBài toán 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 9 3 abc abc + ³6 ++ ( a + b + c) bca Lời giải: · ...