cơ sở tự động học, chương 12

Tham khảo tài liệu cơ sở tự động học, chương 12, kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
cơ sở tự động học, chương 12 Chương 12: TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thôngdụng để phân giải các hệ tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã đượcdùng để chuyển các phương trình vi phân mô tả hệ thống thành cácphương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại sốnày ta có thể tìm được hàm chuyển mô tả tương quan nhân quảgiữa ngõ vào và ngõ ra. Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biếnphức, dù là kỹ thuật rất thông dụng trong tự động học, nhưng có rấtnhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đó là các điều kiện đầu bị bỏqua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyếntính, không đổi theo thời gian. Và nó đặc biệt bị giới hạn khi dùngđể phân giải các hệ đa biến. Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiểnthường được phân giải trong miền thời gian. Và vì vậy, cần thiếtphải có một phương pháp khác để đặc trưng hóa cho hệ thống. Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (statevariable) để đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống có thể đượcphân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình vi phâncấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao.Vấn đề sẽ được đơn giản hóa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùngmáy tính để giải. Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t)...xn(t) được chọn đểmô tả trạng thái động của hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳnt=t0 nào, các biến này mô tả hoàn toàn trạng thái quá khứ ( pasthistory ) của hệ cho đến thời điểm t0. Nghĩa là các biến x1(t0),x2(t0) . . . xn(t0), xác định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khicó những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì trạng thái tươnglai của hệ thống sẽ hoàn toàn được xác định . Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính cóthể được định nghĩa như là một tập hợp nhỏ nhất các biếnx1(t),x2(t),... xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời điểmt0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõvào được áp dụng theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tạibất kỳ thời điểm t >=t0 nào. Cái ngắt điện, có lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạngthái. Ngắt điện có thể ở vị trí hoặc ON hoặc OFF, vậy trạng tháicủa nó có thể là một trong hai trị giá khả hữu đó. Nên, nếu ta biếttrạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu có một tínhiệu đặt ở ngõ vào, ta sẽ có thể xác định được trị giá tương laitrạng thái của nó.II. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNHOUTPUT. Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyếntính với p input và q output. Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởitập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi là nhữngphương trình trạng thái. Trong đó :ĠĬ, … ,Ġ là các biến trạng thái Ġ.Ĭ, … ,Ġ là các input Ġ : hàm tuyến tính thứ i. Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và cácinput qua biểu thức sau. Ġ : hàm tuyến tính thứ k . Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phươngtrình trạng thái và phương trình output gọi chung là các phươngtrình động của hệ. Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một outputđược mô tả bởi phương trình vi phân : Hàm chuyển mô tả hệ thống dễ dàng có được bằng cách lấybiến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0. Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống còn có thể mô tả bởi một tập hợpcác phương trình động như sau : Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc caonhất ở vế trái: Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức địnhnghĩa của biến trạng thái vào 4.8 . Ta sẽ có những phương trìnhtrạng thái: Chỉ có phương trình (4.9c) là tương đương phương trình banđầu (4.3). còn hai phương trình kia chỉ là phương trình định nghĩabiến trạng thái. Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa nhưlà biến trạng thái x1(t), (không phải luôn luôn như vậy). Vậyphương trình (4.5) là phương trình output. Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mô tả ởtrên, thì phương trình vi phân cấp n: Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau : Và phương trình output giản dị là : Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mô tả ở trênkhông thích hợp khi vế phải của (4.10) có chứa những đạo hàm củar(t). Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng tháicũng phải chứa r(t). Các biến trạng thái được định nghĩa như sau: Với các giá trị ở đó : Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vàon phương trình trạng thái sau đây dưới dạng bình thường : Phương trình output, có được từ biểu thức thứ nhất của(4.14): ...