cơ sở tự động học, chương 22

Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng. Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức :Các định thức con được lập nên như sau :Và tăng dần đến ?n Tất...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
cơ sở tự động học, chương 22Chương 22: TIÊU CHUẨN HURWITZTiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tấtcả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không. Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các địnhthức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... ,n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) củađịnh thức :Các định thức con được lập nên như sau :Và tăng dần đến ?nTất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âmnếu và chỉ nếu ?i > 0 với i = 1 , 2 , .. , n.* Thí dụ 6 -10: Với n = 3Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âmnếu9; 9; a2 > 0 , a2 a1 – a0 a3 > 0a2 a1 a0 – a02 a3 > 0* Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặctrưng9; 9; 9; s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0Lập các định thức Hurwitz9; 9;Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trìnhđặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định.* Thí dụ 6 .12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đâyổn định :9; 9; s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0Ðể hệ ổn định, cần có :Vậy Ġ * Thí dụ 6 .13 :Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó cóđộ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi baonhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặctrưng của hệ là :s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0 Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 .10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định :9; 4 + k > 0 , (4+k)6 – (16+8k) > 0(4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2 > 0Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa.Ðiều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k < 4Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độlợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn.Ðộ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổnđịnh. PHƯƠNG PHÁP QŨI TÍCH NGHIỆM SỐTrong việc thiết kế và phân giải các hệ điều khiển, người ta thườngcần phải quan sát trạng thái của hệ khi một hay nhiều thông số củanó thay đổi trong một khỏang cho sẵn nào đó. Nhờ đó, ta có thểchọn một cách xấp xỉ trị gần đúng cho thông số (chẳng hạn, chọnđộ lợi cho hệ, hoặc khảo sát những biến đổi thông số do sự laõ hóacủa các bộ phận của hệ).Ðể thực hiện mục đích ấy, ta có thể dùng kỹ thuật quĩ tích nghiệmsố (Root – locus).Ta đã biết, các cực của hàm chuyển là nghiệm của phương trìnhđặc trưng, có thể hiển thị trên mặt phẳng S.Hàm chuyển vòng kín của hệ:Ġ là một hàm của độ lợi vòng hở K.Khi K thay đổi, các cực của hàm chuyển vòng kín di chuyển trênmột qũi đạo gọi là qũi tích nghiệm số (QTNS).Trong chương này, ta đưa vào những tích chất cơ bản của QTNSvà phương pháp vẽ qũi tích dựa vào vài định luật đơn giản.Kỹ thuật QTNS không chỉ hạn chế trong việc khảo sát các hệ tựkiểm. Phương trình khảo sát không nhất thiết là phương trình đặctrưng của hệ tuyến tính. Nó có thể được dùng để khảo sát nghiệmcủa bất kỳ một phương trình đại số nào. Và ngày nay, việc khảo sát. thiết kế một hệ tự điều khiển (trong đó có kỹ thuật QTNS) trở nêndễ dàng, nhanh chóng và thuận tiện nhiều nhờ các phần mềmchuyên dùng trên máy tính, chẳng hạn Matlab.II.QUĨ TÍCH NGHIỆM SỐXem một hệ tự điều khiển chính tắc:- Hàm chuyển vòng kín:- Hàm chuyển vòng hở:N(S) và D(S) là các đa thức hữu hạn theo biến phức Sm(n ; K là độ lợi vòng hở.Các cực của hàm chuyển vòng kín là nghiệm của phương trình đặctrưng: D(S) + KN(S) = 0 (7.1)Vị trí của các nghiệm này trên mặt phẳng S sẽ thay đổi khi K thayđổi. Qũi đạo của chúng vẽ trên mặt phẳng s là một hàm của K. Nếu K = 0, nghiệm của (7.1) là nghiệm của đa thức D(S), cũng là cực của hàm chuyển vòng hở GH. Vậy các cực của hàm chuyển vòng hở là các cực của hàm chuyển vòng kín. Nếu K trở nên rất lớn, nghiệm của (7.1), nghiệm của (7.1) là nghiệm của đa thức N(S), đó là các zero của hàm chuyển vòng hở GH.Vậy khi K tăng từ 0 đến (, qũi tích của các cực vòng kín bắt đầu từcác cực vòng hở và tiến đến chấm dứt ở các zerocủa vòng hở. Vì lýdo đó, ta quan tâm đến hàm chuyển vòng hở G(S).H(S) khi vẽQTNS của các hệ vòng kín.Thí dụ 7.1: Xem hàm chuyển vòng hở của một hệ hồi tiếp đơn vị:Với H=1, hàm chuyển vòng kín:ĠCác cực vòng kín: ĉ- Khi K=0 ; S1=0 ; S2= -2- Khi K=¥ ; S1= -1 ; S2= -¥Qũi tích các nghiệm này được vẽ như là một hàm của K (với K >0)&#QTNS gồm hai nhánh: Nhánh 1: di chuyển từ cực vòng hở tại gốc tọa độ (ứng với K=0) đến zero vòng hở tại -1 (ứng với K=(). Nhánh 2: di chuyển từ cực vòng hở tại -2 (ứng với K=0) đến zero vòng hở tại -( (ứng với K=(). ...