Công thức dạng Lax-Oleinik cho luật bảo toàn đa thời gian

Bài viết Công thức dạng Lax-Oleinik cho luật bảo toàn đa thời gian sẽ nghiên cứu về bài toán Cauchy cho luật bảo toàn đa thời gian. Dựa trên kỹ thuật mà E. Hopf đã sử dụng, thông qua công thức dạng Hopf - Lax - Oleinik cho nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi đa thời gian trong tương ứng cùng với những giả thiết phù hợp, tác giả sẽ thiết lập được công thức dạng Lax - Oleinik cho nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho luật bảo toàn đa thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Công thức dạng Lax-Oleinik cho luật bảo toàn đa thời gian Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 CÔNG THỨC DẠNG LAX-OLEINIK CHO LUẬT BẢO TOÀN ĐA THỜI GIAN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Định nghĩa 1. ([3]) Hàm u(t, x ) Î Lip (W) , Trong thực tế có nhiều hiện tượng trong trong đó W = [0,T ) ´  n , được gọi là một nhiều lĩnh vức khác nhau xảy ra theo các nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1) - mức thời gian khác nhau (đa thời gian), (3) nếu u(t, x ) thỏa mãn (1) - (2) hầu khắp chẳng hạn như trong một số mô hình truyền tín hiệu, mô hình giao thông giải quyết vấn nơi trong W và u(0, x ) = g(x ) với x Î  n . đề kẹt xe…, các mô hình đó thường dẫn tới Trong bài báo [3] của mình năm 2005, tác các bài toán đối với phương trình vi phân đạo giả đã xét bài toán (1) - (3) với các giả thiết: hàm riêng đa thời gian, một trong các phương (H1) Các Hamiltonian H i := H i (t , p), i = 1,2 trình đó là các luật bảo toàn. Báo cáo này sẽ là các hàm liên tục trong nghiên cứu về bài toán Cauchy cho luật bảo toàn đa thời gian. Dựa trên kỹ thuật mà E. { WG := (t , p) : t Î (0, ¥)2 \ G, p Î  n , } Hopf [2] đã sử dụng, thông qua công thức với tập đóng G Ì  2 có độ đo không. Hơn dạng Hopf - Lax - Oleinik cho nghiệm của nữa, với mỗi N > 0 , tồn tại hàm bài toán Cauchy đối với phương trình g Ni = gNi (t ), i = 1, 2 trong L¥ ( 2 ) sao cho: loc Hamilton-Jacobi đa thời gian trong [3] tương ứng cùng với những giả thiết phù hợp, tác giả sup H i (t , p) £ gNi (t ), i = 1,2 |p|£N sẽ thiết lập được công thức dạng Lax - Oleinik cho nghiệm yếu của bài toán Cauchy với mọi t Î (0, ¥)2 . cho luật bảo toàn đa thời gian. (H2) Với mọi tập con bị chặn V của W , tồn tại số dương N (V ) sao cho 2. NỘI DUNG BÁO CÁO t s p, x - g *(p) - ò H 1(t, p)d t - ò H 2 (h, p)d h 1. Đặt vấn đề 0 0 ì ï t ü ï Xét bài toán Cauchy cho phương trình ï ï ï ò ï * ï q , x - g (q ) - H 1 (t , q )d t ï Hamilton - Jacobi đa thời gian ï ï ï ï < max í 0 ý ì |q |£N (V ) ï s ï ïut + H 1(t, Du ) = 0,(t, x ) Î W = (0,T )2 ´  n (1) ï ï ï ï ï - ò H 2 (h, )d h ï ï ï ïu + H (s, Du ) = 0,(t, x ) Î W = (0,T )2 ´ n (2) ï ï í s ï î 0 ï þ ï ï 2 ï ï î u (0, 0, x ) = g(x ) , x Î  n (3) ở đây (t, s, x ) Î V , | p |> N (V ). ở đây các Hamiltonian Trong các công thức trên, l *(z ) là liên hợp H 1(t, p) : = H 1(t, 0, p), H 2 (t, p) : = H 2 (0, s, p) Fenchel của hàm lồi l (p) : và dữ kiện ban đầu g = g(x ) đã được cho trước, ký hiệu Lip(W) là ...