Đại cương Vật lý: Phần 2

Mời các bạn tham khảo Tài liệu Vật lý đại cương: Phần 2 do Phạm Duy Lác biên soạn để nắm bắt những kiến thức về cách vận dụng kết quả của cơ học lượng tử để nghiên cứu về đặc tính và phổ của nguyên tử; hạt nhân nguyên tử. Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Vật lý và những ngành có liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại cương Vật lý: Phần 2 Chương III VẬT LÝ NGUYÊN TỬ Trong chương này chúng ta sẽ vận dụng những kết quả của cơ học lượng tử đểnghiên cứu về đặc tính và phổ của nguyên tử. Để đơn giản, trước hết ta nghiên cứunguyên tử hyđro.3-1. NGUYÊN TỬ HYĐRO. TRẠNG THÁI VÀ NĂNG LƯỢNG CỦAELECTRON. QUANG PHỔ1. Chuyển động của electron trong nguyên tử hydro Chuyển động của electron trong trường Culong của hạt nhân nguyên tử là mộtbài toán quan trọng của cơ học lượng tử. Ở đây chúng ta nghiên cứu chuyển động củaelectron trong trường xuyên tâm của hạt nhân (Trường lực xuyên tâm là trường mà thếnăng của hạt trong trường này phụ thuộc vào khoảng cách r tới gốc tọa độ O đặt tạinơtron của trường) . Chúng ta biết rằng nguyên tử hyđro và các con đồng dạng (như He+, Li+, v.v...)gồm có một hạt nhân mang điện tích + Ze (Z chính là số thứ tự của nguyên tố trongbảng tuần hoàn Mendeleev(1), đối với nguyên tử hyđro Z = 1) và một electron mangđiện tích (-e) chuyển động xung quanh hạt nhân (h. 3-l). Lực tương tác giữa hạt nhân và electron là lực hút tĩnh điện (theo định luậtCulong):và thế năng tương tác của hạt nhân và electron có dạng:trong đó r - khoảng cách từ electron đến gốc O của hệ tọa độ đặt tại hạt nhân. Hạt nhâncó khối lượng lớn so với khối lượng của electron (me), vì vậy có thể coi hạt nhân đứngyên, còn electron chuyển động trong một trường xuyên tâm có thế năng dạng (3 – 2)Khi đó phương trình Sthrôdinger cho electron chuyển động trong nguyên tử hyđro sẽlà:1. Dimitri Ivanovits Medeleev (8.2.1834 - 1907) người Nga (NBT). 51 Vì ở đây trường của hạt nhân là xuyên tâm có tính đối xứng cầu nên tiện nhất làsử dụng hệ tọa độ cấu (r, θ, ϕ), mà chúng liên hệ tọa độ Dercartes bằng các hệ thức sauđây: Như vậy hàm sóng sẽ là hàm của các biến số r, θ, ϕ: Do đó phương trình Schrödinger trong tọa độ cầu có dạng: Để giải bài toán này, người ta dùng phương pháp phân ly biến số trong hệ tọa độcầu. Điều này cho phép ta biểu diễn nghiệm dưới dạng: Thay (3-5) vào phương trình (3-4), sau đó chuyển vế và chia ca hai vế phươngtrình nhận được cho R(r)Y(θ, ϕ) ta được: Chú ý rằng hàm R(r) chỉ phụ thuộc vào một biến số r nên ta thay đạo hàm riêng 52∂ d bằng đạo hàm thường . Vì vế trái của (3-6) chỉ phụ thuộc vào biến r, còn vế phải∂r drphụ thuộc vào biến θ, ϕ nên hai vế chỉ có thể bằng nhau khi chúng bằng cùng mộthằng số λ. Do vậy ta có thể viết: Theo lý thuyết phương trình vi phân thì hai phương trình (3-7) và (3-8) có cácnghiệm R, Y đơn trị, giới nội, liên tục chỉ khi λ có các giá trị xác định. Giải phươngtrình (3-7) ta tìm được hàm R(r) phụ thuộc vào hai số nguyên không âm n,l: R =Rn.l(r); và giải phương trình (3-8) ta tìm được Y(θ,ϕ) phụ thuộc vào hai số nguyên l,m:Y = Yl.m(θ,ϕ). Yl.m(θ,ϕ) là các hàm số cầu và chính là hàm riêng của toán tử bình phươngmômen động lượng: Thật vậy, phương trình (3- 8) có thể viết: Nhân hai vế của phương trình (3-9) với h2 ta có: Suy ra: Rõ ràng Y là hàm riêng của toán tử bình phương mômen động lượng Lˆ2 . Ở đâyλ= l(l+ 1) và các số n,l,m lấy các giá trị: số nguyên n được gọi là số lượng từ chính. Số nguyên l được gọi là số lượng tử quỹ đạo (phương vị) . Số nguyên m được gọi là số lượng tử từ. 53 Sau đây là dạng cụ thể của một vài hàm riêng Rn.l(r) và Yl.m(θ,ϕ):với Viết một cách tổng quát:trong đó các hàm đa thức liên kết Legendre(1) Pl m (x) có dạng:là các đa thức Legendre.1. Adrien Marie Lgendre (18.9.1752 - 10.1.1833) người Pháp (NBT). 542. Biểu thức năng lượng Ngoài các kết quả nêu trên, người ta còn thu được biểu thức năng lượng củaelectron: Đối với nguyên tử hyđro Z = 1, ta có:trong đógọi là hằng số Rydberg, đã được thực nghiệm xác nhận. Sau đây là các kết luận suy ra từ kết quả nêu trên:3. Các kết luận a) Các mức năng lượng của eledron trong nguyên tử hyđro chỉ phụ thuộc vào mộtsố lượng tử chính n theo công thức (3-11). Theo công chức này thì năng lượng nhậnnhững giá trị gián đoạn. hay ta nói năng lượng bị lượng tử hóa và tỷ lệ nghịch với bìnhphương các số nguyên. Sự gián đoạn của năng lượng chính là hệ quả của điều kiện vềtính hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. Ta cũng nhận thấy năng lượng W tăng khi số lượng tử chính n tăng, nhưng luônâm (W < 0) và ứng với mỗi giá trị của n ta có một mức năng lượng: với giá trị n = 1tương ứng với mức năng lượng Wl thấp nhất (mức cơ bản) của ...