Đại số

Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và các phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm, vành, trường, lý thuyết bất biến ... Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ môn số học. Đại số giảng dạy trong trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số thực, các hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số Đại sốĐại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm và cácphép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm, vành,trường, lý thuyết bất biến ...Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ môn sốhọc.Đại số giảng dạy trong trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên sốthực, các hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này là đại sốsơ cấp. Xem thêm mục phân loại bên dưới.Lịch sửNguồn gốc của đại số được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập vàBabylon cổ đại, là những người sử dụng đại số để giải các phương trình tuyến tính,phương trình bậc hai và phương trình vô định hơn 3.000 năm trước.Khoảng năm 300 TCN nhà toán học Hy Lạp Euclid (đọc là Ơclit) trong tập 2 của cuốnsách Những nguyên lý (Στοιχεία) gồm 13 tập đã nhắc tới phương trình bậc hai.Khoản năm 100 TCN các phương trình đại số được giải trong cuốn sách toán học củangười Trung Quốc Jiuzhang suanshu, (Cửu chương toán học).Khoảng năm 150 nhà toán học Hy Lạp Hero ở Alexandria đã giải các phương trình đại sốtrong 3 quyển tuyển tập toán học của mình.Khoảng năm 200 nhà toán học Hy Lạp Diophantus, thường được nhắc tới như là cha đẻcủa đại số, đã viết cuốn sách nổi tiếng của mình Arithmetica, là một công trình đưa ra lờigiải của các phương trình đại số và về lý thuyết số.Từ algebra trong một số ngôn ngữ nước ngoài để chỉ đại số có nguồn gốc từ tên của luậnvăn được viết bởi nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi năm 820 với tiêu đề: Kitab al-mukhtasar fi Hisab Al-Jabr wa-al-Moghabalah có nghĩa là Cuốn sách tóm tắt liên quanđến tính toán bằng đổi chỗ và rút gọn. Từ al-jabr (từ đó mà có từ algebra) có nghĩa làhợp nhất, liên kết hay hoàn thiện.hân loạiĐại số sơ cấp Môn học này nghiên cứu thuộc tính của các phép tính trên số thực, sử dụng các ký hiệu thế chỗ để biểu diễn các hằng số và biến số, vận dụng các quy tắc biến đổi các biểu thức toán học và các phương trình chứa những ký hiệu này.Đại số đại cương Trong môn học này các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường được định nghĩa như các tiên đề và được nghiên cứu.Đại số tuyến tính Môn học này nghiên cứu các thuộc tính đặc trung của không gian vectơ.Các chủ đề chínhDưới đây là một số chủ đề chính của đại số: • Các bất biến đại số • Các đa thức • Các đại số mang tên người • Các đẳng thức đại số• Các đường cong đại số• Các đường cong elíp• Các nhân thức• Các nhóm sóng• Các phép biến đổi đại số• Các phương trình đại số• Các tính chất đại số• Các tổng đại số• Cyclotomy• Dạng bình phương• Đại số đồng điều• Đại số không giao hoán• Đại số phổ dụng• Đại số tuyến tính• Đại số tổng quát• Đại số véctơ• Đại số vô hướng• Hình học đại số• Lý thuyết giá trị • Lý thuyết mã hoá • Lý thuyết nhóm • Lý thuyết nửa nhóm • Lý thuyết số • Lý thuyết trường đại số • Lý thuyết vànhCác loại phương trình đại sốCó nhiều loại phương trình đại số. Một số được liệt kê dưới đây: • Phương trình tuyến tính • Phương trình bậc hai • Phương trình bậc ba • Phương trình mũTam thứcLinh tinhTừ đại số còn được sử dụng cho các cấu trúc đại số khác: • Đại số trên trường (K-algebra) • Đại số trên tập hợp • Đại số Bool • Đại số sigma (σ-algebra) Hình họcHình học là ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian. Dùng kinh nghiệm, hay có lẽbằng trực giác, người ta nhận ra không gian theo những đặc điểm cơ bản, thuộc hình họcgọi là hệ tiên đề. Hệ tiên đề bao gồm các khái niệm nguyên thủy không định nghĩa và cáctiên đề (còn được gọi là các định đề) không chứng minh quy định mối quan hệ giữa cáckhái niệm ấy.Hình học EuclidHệ tiên đề hình học đầu tiên được tập hợp hệ thống và công bố trong tác phẩm Cơ sở củaEuclid. Hệ tiên đề này lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức của thời đó. Cáckhái niệm nguyên thuỷ trong hệ tiên đề này là điểm,đường thẳng và mặt phẳng. Từ bakhái niệm cơ bản này và một số rất ít các tiên đề, Euclid đã xây dựng thành nội dung toànbộ môn hình học ở phổ thông hiện nay, mà sau này các nhà toán học gọi là hình họcEuclid.Tuy nhiên, các tiên đề/định đề và một số khái niệm do Euclid xây dựng chưa đủ chặt chẽdo chưa có sự hoàn thiện về lý thuyết tập hợp. Sau này David Hilbert đã hoàn chỉnh lạithành một hệ tiên đề chặt chẽ và hoàn chỉnh. Môn hình học dạy trong chương trình phổthông hiện nay thường chia ra hình học phẳng và hình học không gian.Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Côngnguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựngnhững kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là là một khoa họcvề đo đạc. Nhưng rồi, co ...