Đại số tổ hợp- Tổ hợp

Tham khảo tài liệu đại số tổ hợp- tổ hợp, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số tổ hợp- Tổ hợp ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏPChöông IV TOÅ HÔÏPCoù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (0 ≤ k ≤ n) khoâng ñeå yù ñeán thöù töïchoïn. Moãi caùch choïn nhö vaäy goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.Ta thaáy moãi toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû taïo ra ñöôïc Pk = k! chænh hôïp chaäp kcuûa n phaàn töû.Do ñoù, neáu kí hieäu Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû, ta coù : k An k n! C= = k n k! k!(n − k)! Ck = Cn − kTính chaát : n n Ck = Ck −1 + Ck −1 n n −1 n C0 + C1 + … + Cn = 2n n n nVí duï 1. Coù 5 hoïc sinh, caàn choïn ra 2 hoïc sinh ñeå ñi tröïc lôùp, hoûi coù maáy caùchchoïn ? GiaûiÑaây laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : 5! 5.4 C2 = = = 10 caùch choïn. 5 2!3! 2(Giaû söû 5 hoïc sinh laø {a, b, c, d, e} thì 10 caùch choïn laø : {a, b} , {a, c} , {a, d} ,{a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e} .Ví duï 2. Moät noâng daân coù 6 con boø, 4 con heo. Moät noâng daân khaùc ñeán hoûi mua4 con boø vaø 2 con heo. Hoûi coù maáy caùch choïn mua ? GiaûiChoïn mua 4 con boø trong 6 con boø laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 6 phaàn töû, coù : C6 4caùch choïn.Choïn mua 2 con heo trong 4 con heo laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû, coù : C2 4caùch choïn.Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn mua boø vaø heo laø : 6! 4! 6.5.4.3.2.1 6! C6 × C2 = = = 4 × 4 4!2! 2!2! (2!) 8 3 = 6 × 5 × 3 = 90 caùch choïn. Ví duï 3. Trong moät kì thi, moãi sinh vieân phaûi traû lôøi 3 trong 5 caâu hoûi. a) Coù maáy caùch choïn. b) Coù maáy caùch choïn neáu trong 5 caâu hoûi coù 1 caâu hoûi baét buoäc. Giaûi a) Choïn 3 trong 5 caâu hoûi laø toå hôïp chaäp 3 cuûa 5 phaàn töû. 5! 5.4 = = 10 caùch choïn. Vaäy coù : C3 = 5 3!2! 2 b) Choïn 2 trong 4 caâu hoûi coøn laïi laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû 4! 4.3 Vaäy coù : C2 = = = 6 caùch choïn. 4 2!2! 2 Chuù yù :– Coù theå xem moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät taäp con goàm k phaàn töû cuûa taäp n phaàn töû ñaõ cho.– Caàn phaân bieät trong moãi baøi toaùn choïn k vaät töø n vaät, coù hay khoâng haøm yù thöù töï . Neáu coù thöù töï, ñoù laø chænh hôïp, neáu khoâng coù thöù töï, ñoù laø toå hôïp. 1 1 1Baøi 60. Giaûi phöông trình : – x= x (*) C4 C5 C6 x Giaûi Ñieàu kieän : x ∈ ¥ vaø x ≤ 4. x !(4 − x)! x !(5 − x)! x !(6 − x)! (*) ⇔ – = 4! 5! 6! (4 − x)! (5 − x)(4 − x)! (6 − x)(5 − x)(4 − x)! – = (do x! > 0) ⇔ 4! 5 × 4! 6 × 5 × 4! 5−x (6 − x)(5 − x) ⇔ 1– = (do (4 – x)! > 0) 5 30 ⇔ 30 – 6(5 – x) = 30 – 11x + x2 ⎡ x1 = 2 ⇔ x2 – 17x + 30 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x 2 = 15 (loaïi so ñieàu kieän x ≤ 4) x = 2. ⇔ Cn ...