Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính

Bài báo này có hai mục đích. Mục đích đầu tiên là chứng minh rằng nếu hàm Squeezing
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính HỘI NGHỊ TOÀN QUỐC KHOA HỌC TRÁI ĐẤT VÀ TÀI NGUYÊN VỚI PHÁT TRIỂN BỀN VỮNG (ERSD 2022) Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính Nguyễn Thị Lan Hương* Trường Đại học Mỏ - Địa chấtBài báo này có hai mục đích. Mục đích đầu tiên là chứng minh rằng nếu hàm Squeezing ? (? ? ) hội tụ tới 1 với mộtTÓM TẮTdãy {? ? }  nào đó hội tụ tới điểm biên lồi tuyến tính 0 kiểu hữu hạn, thì điểm đó phải là điểm giả lồi chặt. Tiếpđến, mục đích thứ hai là xem xét dáng điệu biên của hàm Squeezing của mặt Ellipsoid tổng quát.Từ khóa: Miền phức, Miền h-thác triển, Hàm SqueezingĐặt vấn đề Cho  là một miền trong Cn và p  . Cho phép nhúng chỉnh hình f:   Bn = B (0; 1) với f(p) = 0, đặt ,f (p) = sup {r > 0: B(0; r)  f()} trong đó, Bn(z; r)  Cn là hình cầu tâm z bán kính r. Khi đó, hàm Squeezing : R được định nghĩa như trong [DGZ12] là: (p) = supf {,f (p)}. Chú ý rằng 0 < (z)  1 với mọi z   và hàm Squeezing là bất biến đối với các ánh xạ song chỉnh lim  (?) = 1.hình. Trong các nghiên cứu gần đây [DGZ16, DFW14, KZ16], các tác giả đã chứng minh rằng nếu p là điểm ?∈ ?biên giả lồi chặt thì J. E. Forness và F. E. Wold cũng đã đưa ra bài toán ngược của kết quả này trong [FW 18, bài toán 4.1]. lim  (?) = 1 thì biên của  có giả lồi chặtBài toán 1 ?∈ ? Nếu  là miền giả lồi bị chặn với biên trơn, và nếutại p ? Kết quả nghiên cứu chính xung quanh vấn đề này thuộc về A.Zimmer [Zim18, Zim19], J. E. Fornessvà F. E. Wold [FW18], S. Joo and K. T. Kim [JK18], P. Mahajan and K. Verma [MV19]. Hơn nữa, trong[Zim18, Zim19], A. Zimmer đã chứng minh điều khẳng định với miền lồi bị chặn với biên trơn C2,. lim  (?) = 1.Trong [FW18], J. E. Forness và F. E. Wold đã cấu trúc một miền lồi bị chặn có biên C2- trơn   Cn mà ?∈ ?không giả lồi chặt, nhưngĐịnh lý 1: Cho  là một miền bị chặn trong Cn với biên giả lồi trơn. Nếu  0 là một điểm biên của  theokiểu hữu hạn sao cho  là lồi tuyến tính tại  0 và nếu tồn tại dãy {qj} sao cho lim q j  0 và j lim s (q j )  1 thì  là giả lồi mạnh tại  0 . j Cố định các số nguyên dương m1, …., mn-1 và đặt P(z’) là (1/m1,…..,1/mn-1)-đa thức thuần nhất cho bởi  L P( z )  aKL z K z wt (K)  w( L ) 1/ 2Trong đó aKL  C với aKL  aLK , thỏa mãn P(z’) > 0 khi z’  0. kjTừ đó ta có z = (z1, ….., zn-1) và wt ( K )   j 1 n 1 ký hiệu cho trọng ứng với đa chỉ số K=(k1,……,kn-1) 2m j Nn-1 theo trọng  = (1/m1,…..,1/mn-1).Khi đó, ellipsoid tổng quát DP trong Cn (n  1) được định nghĩa trong [NNTK] bởiDP  {(z, z n )  C n :|z n |2 +P(z) Trong bài báo này, ta giả sử rằng miền DP là miền WB, tức là DP là giả lồi chặt tại mọi điểm biên bên Với s, r (0, 1], theo [Lin18, bổ đề 2.5] ta định nghĩa ? ?? và ? ??,? lần lượt bởingoài tập {(0’, ei):   R}. (xem [AGK16]). DP  {z  Cn :|z-b|2 +sP(z) 0: (q + v) - (q) <  với mọi   C với || < }. Khi đó, dễ thấy (q, v, ) chính là khoảng cách từ q tới Sq, = {(z) = (q) + } dọc theo đường thẳngphức {q + v:   C}. Với mọi điểm q    U và với mọi số dương  đủ nhỏ, ta kết hợp (1) Một hệ tọa độ giải tích (z1, z2,…., zn) tâm tại q và bảo toàn tính trực giao (2) Các điểm p1, p2,…, pn trên siêu mặt Sq,  (3) Các số dương 1(q, ), 2(q, ),…., n(q, ). Cách xây dựng được tiếp tục như sau:  (q) Đặt e1  và 1(q, ) = (q, e1, ). |  (q) | Với  đủ nhỏ, tồn tại duy nhất một điểm p1 trong Sq,  mà có khoảng cách như trên. Chọn một tham số hóa đường thẳng phức từ q tới p1 sao cho z1(0) = q, p1 thuộc trục thực dương Re(z1). 1219 ...