Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2

" Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2 " để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2G.NTHKhi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + 32 )(sin 2 β + cos 2 β) = sin α + 5 cos α≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos 2  ) = 26 ⇒ (®pcm) 1IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos 2 α1. Ph¬ng ph¸p:  π πa) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα víi α ∈  − ,   2 2  π πb) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα víi α ∈  − ,   2 22. C¸c vÝ dô minh ho¹: 3x 4x 3VD1: Chøng minh r»ng: S = − ≤1 1 + x2 (1 + x 2 )3 Gi¶i:  π π 1§Æt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ 1 + x 2 = , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:  2 2 cos αS = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (®pcm) 3 + 8a 2 + 12a 4VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1 + 2a 2 ) 2 Gi¶i:  π π 3 + 4 tg 2 α + 3tg 4 α§Æt a 2 = tgα víi α∈ − ,  th× ta cã: A =  2 2 (1 + tg 2 α) 2 3 cos 4 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 3 sin 4 α= = 3(sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α (cos α + sin α) 2 2 2 sin 2 2α 5 1 sin 2 2α 0=3- ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 2 2 2 2 2 π 1 5Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = 4 2 2 (a + b)(1 − ab) 1VD3: Chøng minh r»ng: ≤ ∀ a, b ∈ R (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Gi¶i: 8G.NTH (a + b )(1 − ab) (tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ)§Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã = (1 + a )(1 + b ) 2 2 (1 + tg 2 α)(1 + tg 2β) sin(α + β) cos α. cos β − sin α. sin β= cos 2 α cos 2 β. . cos α. cos β cos α. cos β sin[2(α + β)] ≤ (®pcm) 1 1= sin(α + β) cos(α + β) = 2 2 | a −b | | b−c| | c −a |VD4: Chøng minh r»ng: + ≥ ∀ , b,c a (1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2) 1 1 (1+c2)( +a2) 1 Gi¶i:§Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ − tg α |⇔ + ≥ (1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β ) (1 + tg 2 β )(1 + tg 2 γ ) (1 + tg 2 γ )(1 + tg 2 α ) sin(α − β) sin(β − γ ) sin( γ − α)⇔ cos α cos β. + cos β cos γ. ≥ cos γ cos α. cos α. cos β cos β. cos γ cos γ. cos α⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã:|sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm)VD5: Chøng minh r»ng: ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > 0 Gi¶i: cd(1) ⇔ ab + cd ≤1⇔ ...