Giải tích hàm một biến - Toán cao cấp: Phần 2

Tiếp nội dung phần 1, cuốn sách "Toán cao cấp giải tích hàm một biến" phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Phép tính tích phân của hàm một biến; phương trình vi phân thông thường. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích hàm một biến - Toán cao cấp: Phần 2 Chương4 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 4.1. Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2. Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3. Tích phân của những hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Tích phân của hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5. Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.7. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.9. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.10. Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.11. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1 Nguyên hàm và tích phân bất định4.1.1 Bài toán thực tế Bài toán điều tra dân số Theo mô hình điều tra dân số về sự tăng trưởng của dân số thế giới, tốc độ tăng trưởng của dân số thế giới từ năm 1950 là p(t) = −0, 012.t2 + 48.t − 47925, với t là năm theo lịch, p(t) (triệu người/năm). 1. Theo kết quả điều tra dân số năm 2000 thì tổng dân số là 6000 triệu người. Hãy tìm hàm tổng dân số P (t) theo năm. 2. Từ hàm tổng dân số P (t) dự đoán dân số thế giới năm 20504.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 55 1. P (t) chính là hàm ngược lại của đạo hàm (nguyên hàm) - antiderivative t3 t2 P (t) = −0, 012. + 48. − 47925.t + C 3 2Để tìm C ta thay t = 2000 và P (2000) = 6000. Khi đó ta thu được C = 31856000 và P (t) =−0, 004.t3 + 24.t2 − 47925.t + 31856000 2. Thay t = 2050 ta sẽ dự đoán được tổng dân số năm 2050 là P (2050) = 9250 triệu người.4.1.2 Nguyên hàmĐịnh nghĩa 4.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X, nếunhư F (x) liên tục và khả vi trong X và với mọi ∀x ∈ X luôn có đẳng thức F (x) = f (x) (4.1)hoặc là dF (x) = f (x)dx. Định lý 4.1 Nếu hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X ⊂ R thì hàm số Φ(x) = F (x) + C, với C là hằng số, cũng là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X ⊂ R. Ngược lại, nếu những hàm số F (x) và Φ(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X ⊂ R thì tồn tại hằng số C ∈ R sao cho Φ(x) = F (x) + C.4.1.3 Tích phân bất địnhĐịnh nghĩa 4.2. Cho hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X ⊂ R, khi đóbiểu thức Φ(x) = F (x) + C, với C là hằng số bất kỳ, được gọi là tích phân bất định của hàm sốf (x) trong khoảng X. Tích phân bất định này được kí hiệu là f (x)dx. Như vậy tích phân bất định của f (x) là f (x)dx = F (x) + C, với F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X, còn C là hằngsố bất kỳ. Bảng công thức tích phân bất định cơ bản 1. 0dx = C. 10. cos xdx = sin x + C. dx 2. 1.dx = x + C. 11. cos2 x = tan x + C. xµ+1 dx 3. xµ dx = µ+1 + C, µ = −1. 12. sin2 x = − cot x + C. dx 4. x = ln |x| + C. 13. sinh xdx = cosh x + C. ax 5. ax dx = ln a + C, a > 0, a = 1. 14. cosh xdx = sinh x + C. ...