Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12 trung học phổ thông (ban nâng cao) theo quan điểm của lý thuyết tình huống

Từ sự phân tích các mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa về các mặt Toán học, lịch sử Toán học và Lý luận dạy học Toán, trên cơ sở những tri thức, những phương pháp của lịch sử Toán học, lý luận dạy học Toán, bài báo xây dựng một tình huống tương thích để dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa với hy vọng trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cần học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12 trung học phổ thông (ban nâng cao) theo quan điểm của lý thuyết tình huống JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 10, pp. 8-13 DẠY HỌC MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ MŨ CỦA LŨY THỪA Ở LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO) THEO QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG Nguyễn Mạnh Cảng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Email: nguyenmanhcangdhsp@yahoo.com Tóm tắt. Từ sự phân tích các mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa về các mặt Toán học, Lịch sử Toán học và Lý luận Dạy học Toán, trên cơ sở những tri thức, những phương pháp của Lịch sử Toán học, Lý luận Dạy học Toán, bài báo xây dựng một tình huống tương thích để dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa với hy vọng trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cần học. Từ khóa: Số mũ, Lý luận Dạy học Toán, lý thuyết tình huống.1. Mở đầu Học sinh lớp 12 (ban nâng cao) khi học: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ đã gặp các địnhnghĩa sau: “Với a 6= 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số an 1xác định bởi a0 = 1, an = −n ”, và “Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. a mGiả sử r = trong đó m là một số nguyên, còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy n m √thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi ar = a n = n am ” [4]. Học sinh đã gặp anlà một tích của n thừa số bằng a: an = a.a. . . a (n thừa số), với n nguyên dương, đến nay, 2 1 −khi gặp a , a , a 3 , a 3 . . . học sinh không khỏi lạ lẫm và đột ngột. Các em tiếp thu các 0 −3định nghĩa trên có phần khiên cưỡng vì chưa hiểu được ý nghĩa của chúng. Về phía ngườidạy, mặc dù muốn nói về ý nghĩa của các định nghĩa nói trên nhưng cũng gặp khó khănkhi phải giải thích ở ngay thời điểm này, mà cho rằng học sinh sẽ hiểu các định nghĩa nàytrong quá trình học hàm số mũ về sau. Đây là một thực trạng mà hiện vẫn phải chấp nhận.Vấn đề đặt ra là, có thể khắc phục thực trạng này không? Câu trả lời là có thể!2. Nội dung nghiên cứu Về mặt toán học, ở đây ta gặp bài toán về mở rộng miền xác định của hàm số mũy = a (a > 0, a 6= 1) từ chỗ hàm số này có tập xác định là tập các số nguyên dương, tới x8 Dạy học mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa ở lớp 12...chỗ có tập xác định lần lượt là tập các số nguyên, rồi tập hợp các số hữu tỉ và tới tập sốthực,. . . Việc mở rộng này phải thỏa mãn các yêu cầu nhất định được quy định bởi mụcđích nghiên cứu và các định nghĩa tưởng chừng như có phần khiên cưỡng nêu trên, chínhlà kết quả tất yếu của việc giải bài toán này. Trong Lịch sử Toán học [2], việc mở rộng khái niệm số mũ của lũy thừa đã đượcquan tâm từ rất lâu, với mục đích tìm tòi phương pháp và các công cụ tính toán. Để đưamột phép toán về một phép toán đơn giản hơn, chỉ cần lập bảng đối chiếu dãy các lũy thừacủa các số với dãy các số mũ của chúng. Điều này dẫn đến việc so sánh hai cấp số: cấpsố cộng và cấp số nhân, mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa. Xuất phát từ quan điểmtrên, khi đưa phân số xen kẽ các số tự nhiên vào trong cấp số cộng, Ô-rét đã đến với cáclũy thừa với số mũ phân, tiếp đó Sti-phen đã đến với lũy thừa với số mũ phân và âm [2]. Về mặt lý luận dạy học [1,3], để dạy một tri thức Toán học, lý thuyết tình huống chorằng cần phải để học sinh sống trong hoàn cảnh mà tri thức đó được nẩy sinh, do vậy đểdạy một tri thức và muốn lột tả được ý nghĩa của nó, giáo viên phải hoàn cảnh hóa tri thứcsách giáo khoa, để trong hoàn cảnh đó, học sinh tạo ra kiến thức mới mà ta mong muốn. Dưới đây là quá trình xây dựng một tình huống tương thích để dạy học khái niệmlũy thừa với hy vọng, trong tình huống như vậy, học sinh là chủ thể xây dựng tri thức cầnhọc, và thực trạng nêu ở phần đầu bài viết này sẽ được khắc phục. Hoạt động 1: Cho 2 dãy số: 1, 2, 3, 4, . . . . (1) 2, 4, 8, 16, . . . . (2) Học sinh: - Nhận dạng hai dãy số này. Kêt quả: (1) làmột cấp số cộng U1 = 1, d = 1, còn (2) là một cấpsố nhân V1 = 2, q = 2. - Tìm ra một cách cho tương ứng mỗi số hạngcủa dãy số (1) với một số hạng duy nhất của dãy số(2). Kết quả: 1, 2, 3, 4, ... n ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 21 22 23 24 2n Giáo viên: Như vậy chúng ta đã có được mộthàm số trên tập xác định là tập hợp các số nguyên Hình 1. Đồ thị hàm số y = 2xdương, hàm số này được ký hiệu là: y = 2x với trên tập xác định {1,2,3}x ∈ N + và được gọi là hàm số mũ trên tập hợp các số nguyên dương. Học sinh: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x trên tập xác định {1,2,3} (Hình 1). Đồ thị này gồm 3 9 Nguyễn Mạnh Cảngđiểm {(1, 2); (2, 4); (3,8)}. Hoạt động 2: Giáo viên: Ta mở rộng dãy số (1) bằng cách viết tiếp lần lượt các số hạng 0, -1, -2,-3,. . . từ phải sang trái (0 liền kề 1) ta được một cấp số cộng mở rộng vô hạn cả về haiphía, ký hiệu là (1’). . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . . (1’) Học sinh: Mở rộng cấp số nhân (2) để có một cấp số nhân mở rộng (2’) bằng cáchcho tương ứng mỗi số hạng của dãy (1’) với một số hạng duy nhất của (2’), tức là phảiđiền số thích hợp vào vị trí dấu ?: . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . . (1’) . . . , ?, ?, ?, ?, 21, 22, 23. . . Cấp số nhân mở rộng này có công bội bằng 2, nó có dạng sau: 1 1 1 ...