Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

Phần 1 Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao gồm nội dung 2 chương đầu tài liệu. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2 đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e- tôpô cũng như p - tôpô và dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng ®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) Thái Nguyên, 2011 ®¹i häc th¸i nguyªn tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m ph¹m hiÕn b»ng ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO (TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN) SỐ TÍN CHỈ: 3 (LÝ THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15) Thái Nguyên, 2011 MỞ ĐẦU Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch. đó là một lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải tích phức nói riêng Nội dung của đề cương gồm 3 Chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e - tôpô cũng như p - tôpô. Phần tiếp theo của chương này đề cập tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này. Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt . Phần cuối của chương trình bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên. Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s . Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên. Các vấn đề trình bày ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành toán. . 1 Chương 1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Lý thuyết 04 Thảo luận 02 Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm: không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo. 1.1. Không gian lồi địa phương 1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ Giả sử E là không gian véc tơ thực hay phức. Hàm thực p trên E gọi là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn N 1 ) p(x ) ³ 0 với mọi x Î E . N 2 ) p(l x ) = l p(x ), l Î K ( K = ¡ , £ ) , với mọi x Î E . N 3 ) p(x + y ) £ p(x ) + p(y ) với mọi x , y Î E . Nửa chuẩn p gọi là chuẩn nếu p(x ) = 0 Þ x = 0 . Từ N 2 ) và N 3 ) suy ra p(x ) - p(y ) £ p(x - y ) với x , y Î E . 1.1.2. Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski Tập con A trong không gian véctơ E gọi là a ) lồi nếu tx + (1 - t )y Î A với mọi x , y Î A và 0 £ t £ 1 . b) cân nếu l x Î A với mọi x Î A và l £ 1 . c ) hút nếu với mọi x Î E tồn tại e > 0 sao cho l x Î A với mọi l £ e . 1.1.2.1. Rõ ràng nếu p là nửa chuẩn trên E thì U = U p = { Î E : p(x ) < 1} x hay % x U = { Î E : p(x ) £ 1} là các tập lồi, cân, hút trong E . Ngoài ra x x % p(x ) = inf{l > 0 : Î U } = inf{l > 0 : Î U }. l l 1.1.2.2. Giả sử U là tập lồi, cân, hút trong E . Khi đó công thức 2 x pU (x ) = inf {l > 0 : Î U} l xác định một nửa chuẩn trên E , Nửa chuẩn pU gọi là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U . Ta có { Î E : pU (x ) < 1}Ì U Ì { Î E : pU (x ) £ 1} x x và nếu W = { Î E : pU (x ) < 1} thì pU = pW . x 1.1.2.3. Một cách tổng quát nếu A là tập con lồi, cân của E và E (A ) ký hiệu không gian con véctơ sinh ra bởi A , thì công thức x pA (x ) = inf {l > 0 : Î A }, x Î E (A ) l xác định một nửa chuẩn trên E (A ) . 1.1.3. Định nghĩa không gian lồi địa phương 1.1.3.1. Không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một họ CS F (E ) các nửa chuẩn trên E sao cho với mọi p1,..., pn Î CS F (E ) đều tồn tại p Î CS F (E ) để: max (p1(x ),..., pn (x )) £ p(x ) với mọi x Î E . Sau này ta chỉ xét họ CS F (E ) thỏa mãn (H ) x Î E , x ¹ 0, $ p Î CS F (E ) : p(x ) ¹ 0. Từ 1.1.2.1. và ...