Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 2 - Phạm Hiến Bằng

Phần 2 Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao gồm nội dung chương 3 của tài liệu. Chương 3 trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch. Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại pl và loại s.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 2 - Phạm Hiến Bằng Chương 3 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH Lý thuyết 14 tiết Thảo luận 07 tiếtMục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về không gian lồi địaphương hạch. Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớpkhông gian lồi địa phương hạch. Các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s .3.1. Không gian lồi địa phương hạch3.1.1. Định nghĩa không gian lồi địa phương hạch3.1.1.1. Bổ đề. Giả sử E là không gian lồi địa phương và M (E ) là một họnào đó các tập lồi cân đóng và bị chặn. Khi đó hai phát biểu sau là tươngđương: (N ) Đối với mỗi tập A Î M (E ) tồn tại tập B Î M (E ) sao choA Í B và ánh xạ đồng nhất từ E (A ) và E (B ) là hạch (tương ứng là tựahạch, là khả tổng tuyệt đối). (N ¢ Đối với tập A Î M (E ) tồn tại tập B Î M (E ) sao cho A  B và )ánh xạ đồng nhất từ E ¢ B 0 ) và E ¢ A 0 ) là hạch (tương ứng là tựa hạch, là ( (khả tổng tuyệt đối).Chứng minh. Bỏi vì tích hai ánh xạ tựa hạch (tương ứng là hai ánh xạ khảtổng tuyệt đối) là ánh xạ hạch (định lý 2.3.3.4 và định lý 2.3.4.4), nên các phátbiểu trong (N ) và (N ¢ là tương đương. Như vậy chỉ cần chứng minh (N ) )tương đương với (N ¢ trong trường hợp ánh xạ hạch. ) (N )  (N ¢ : Cho A Î M (E ) . Do (N ) tìm được B , C Î M (E ) sao )cho A Ì B Ì C và các ánh xạ đồng nhất e(A, B ) : E (A ) ® E (B ),e(B ,C ) : E (B ) ® E (C ) là hạch. Do mệnh đề 2.3.1.8 các ánh xạ đối ngẫu 62 ¢ ¢ ¢ ¢e(B ,C )¢: [ (C )] ® [ (B )] và e(A, B )¢: [ (B )] ® [ (A )] là hạch. Suy ra E E E Ecác ánh xạ đồng nhất E ¢C 0 ) ® E ¢ B 0 ) ® E ¢ A 0 ) là khả tổng tuyệt đối, bởi ( ( ( ( E ¢vì E ¢ D 0 ) có thể coi như không gian con của [ (D )] với mọi D Î M (E ) .Theo định lý 2.3.4.4 ánh xạ đồng nhất E ¢C 0 ) ® E ¢ A 0 ) là hạch. ( ( (N ¢  (N ) được chứng minh tương tự. )3.1.1.2. Định nghĩa. Không gian lồi địa phương E gọi là hạch nếu nó cómột hệ cơ sở các o- lân cận lồi cân UF (E ) sao cho hai điều kiện tươngđương sau được thực hiện: (N ¢ Với mỗi U Î UF (E ) tồn tại V Î UF (E ) với V Ì U sao cho ánh )xạ chính tắc từ E (V ) vào E (U ) là hạch (tương ứng tựa hạch, khả tổng tuyệtđối). (N ) Với mỗi lân cận U Î UF (E ) tồn tại V Î UF (E ) với V Ì U saocho ánh xạ chính tắc E ¢U 0 ) vào E ¢V 0 ) là hạch (tương ứng tựa hạch, khả ( (tổng tuyệt đối). Sự tương ứng của (N ¢ và (N ) nhận được bằng cách áp dụng bổ đề )3.1.1.1 đối với họ các tập U 0 , U Î UF (E ) trong không gian lồi địa phươngE ¢.3.1.1.3. Mệnh đề. Trong một không gian lồi địa phương hạch E , mọi hệ cơsở các 0- lân cận lồi cân UF (E ) với tính chất (N ¢ . Cho UF2 (E ) hệ cơ sở các 1 ) 2 10 - lân cận lồi cân. Khi đó U 2 Î UF (E ) tùy ý tồn tại U 1 Î UF (E ) vớiU1 Ì U2 . 1Bây giờ ta xác định V 1 Î UF (E ) với V 1 Ì U 1 sao cho ánh xạ chính tắcE ( 1,U 1 ) từ E ( 1 ) vào E ( 1 ) là hạch. Cuối cùng chọn trong UF2 (E ) một V V U0 - lân cận V 2 với V 2 Ì V 1 .Khi đó ánh xạ chính tắc E ( 2,U 2 ) từ E ( 2 ) vào E ( 2 ) là hạch vì V V U 63 E ( 2,U 2 ) = E ( 1,U 2 )E ( 1,U 1 )E ( 2,V 1 ). V U V VNhư vậy ta đã chứng tỏ UF2 (E ) cũng có tính chất (N ) và (N ¢ . )3.1.1.4. Mệnh đề. Không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi mỗi hệcơ sở nào đó (tương ứng mọi cơ sở) các o- lân cận lồi cân UT (E ) có tínhchất sau: (Q) Với mọi U Î UF (E ) tồn tại V Î UT (E ) và dãy { n }Ì E ¢ với a å¥ pV 0 (an ) < + ¥ và pU (x ) £ å¥ x , an , x Î E .Chứng minh. Bởi vì E (V )¢ có thể đồng nhất với E ¢V 0 ) , nên các bất đẳng thức ( pU (x ) £ å¥ x , an , x Î E và p [ (U ) ]£ ...