ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2008 môn đại số

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2008do hội toán học Việt Nam tổ chức, đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2008 môn đại số H I TOÁN H C VI T NAM OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2008 Đ thi: Môn Đ i s Th i gian làm bài: 180 phútCâu 1. Cho a0 , d là các s th c và dãy {a0 , a1 , a2 , . . . , an } l p thành c p s c ng công sai d. Tínhđ nh th c c a ma tr n   a0 a1 a2 . . . an−1 an  a1 a0 a1 . . . an−2 an−1     a2 a1 a0 . . . an−3 an−2  A= . . .   . . . .. . . . . . . . . . . . an−1 an−2 an−3 . . . a0 a1  an an−1 an−2 . . . a1 a0Câu 2. Cho A là ma tr n th c vuông c p 2 tho mãn đi u ki n det A < 0. Ch ng minh r ng t nt i hai s th c phân bi t λ1 , λ2 và hai ma tr n A1 , A2 sao cho An = λn A1 + λn A2 , ∀n = 1, 2 . . . 1 2Câu 3. Cho A là ma tr n th c vuông c p 3, v t (v t là t ng các ph n t trên đư ng chéo chính)là 8. T ng các ph n t trên m i hàng c a A b ng 4 và det A = 16. Xác đ nh các giá tr riêng c aA.Câu 4. Cho các s th c a1 , a2 , . . . , a2008 . Ch ng minh r ng t n t i các ma tr n th c vuông c pn (n > 1) A1 , A2 , . . . , A2008 th a mãn 2008 det Ak = ak (k = 1, . . . , 2008) và det Ak = 2009. k=1Câu 5. Cho A là ma tr n vuông c p n kh ngh ch. M i ph n t c a các ma tr n A, A−1 là snguyên. Ch ng minh r ng n u A có n giá tr riêng đ u là các s th c thì | det(A + A−1 )| 2n .Câu 6. T n t i hay không đa th c P (x) b c 2008 th a mãn đi u ki n P (k ) = 2k v i k =0, 1, . . . , 2008? T i sao? ———————————— Đáp án: Môn Đ i sCâu 1. Ta có a0 a1 a2 ... an−1 an a1 a0 a1 ... an−2 an−1 a2 a1 a0 ... an−3 an−2 det A = D = . . . . . .. . . . . . . . . . . . an−1 an−2 an−3 ... a0 a1 an an−1 an−2 ... a1 a0C ng c t 1 vào c t cu i cùng ta đư c a0 a1 a2 ... an−1 1 a1 a0 a1 ... an−2 1 a2 a1 a0 ... an−2 1 D = (a0 + an ) . . . . . .. . . . . . . . . . . . an−1 an−2 an−3 ... a0 1 an an−1 an−2 ... a1 1Nhân hàng th n − 1 v i −1 r i c ng vào hàng cu i cùng, nhân hàng th n − 2 v i −1 r i c ngvào hàng th n − 1, . . . nhân hàng 1 v i −1 r i c ng vào hàng th 2 ta đư c a0 a1 a2 . . . an−1 1 −d −d . . . −d ...