Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số

Trong chương trình sách giáo khoa lớp 10, chúng ta cũng đã được giới thiệu khá đầy đủ về định nghĩa và các công thức biến đổi lượng giác. Nay lên lớp 11, chúng ta vẫn tiếp tục học về lượng giác nhưng đã được nâng cao hơn và mở rộng hơn. Tuy nhiên trong thực tế, ít ai có thể biết hết các ứng dụng của lương giác. Hôm nay tôi xin giới thiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán; đó là phương pháp: “Dùng lượng giác...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 Lời dẫn¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯T rong chương trình sách giáo khoa lớp 10, chúng ta cũng đã được giới thiệu khá đầy đủ về định nghĩa và các công thức biến đổi lượng giác. Nay lên lớp 11, chúng ta vẫn tiếp tục học về lượng giác nhưng đã được nâng cao hơn và mở rộng hơn. Tuy nhiêntrong thực tế, ít ai có thể biết hết các ứng dụng của lương giác. Hôm nay tôi xin giớithiệu cho các bạn về một ứng dụng khá hay và hữu ích của lượng giác trong giải toán;đó là phương pháp: “Dùng lượng giác để giải các bài toán Đại số” Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng toán đại số vàgiải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị của hàm sốchứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểuthức đại số… Do thời lượng có hạn nên cuốn đề tài chỉ có thể đề cập đến một số vấn đề cơ bảncủa phương pháp lượng giác hóa. Cuốn đề tài được chia làm các phần:  Phần 1 Cách giải: phần này cung cấp cho bạn đọc cách giải chung nhất của phương pháp cho bạn đọc.  Phần 2 Một số dạng thường gặp: phần này bao gồm các dạng bài toán có thể áp dụng phương pháp lượng giác hóa, dấu hiệu nhận biết của từng dạng và một số ví dụ cụ thể cho các dạng…  Phần 3 Bài tập đề xuất: bao gồm một số ví dụ khác dành cho bạn đọc tự giải để có thể nắm vững được phương pháp này. Với bản chất “mềm dẻo” của kiến thức, phương pháp lượng giác hóa sẽ đem lạicho bạn một lời giải “đẹp”, ngắn gọn, sáng tạo và không kếm tính bất ngờ, khôngnhững thế còn gây được nhiều hứng thú cho người đọc. Tuy đã cố gắng rất nhiều để làm cuốn đề tài này, nhưng trong quá trình biên tậpcuốn đề tài còn nhiều thiếu sót, mong được sự thông cảm và ý kiến đóng góp của bạnđọc để cuốn đề tài ngày càng được hoàn thiện hơn. Thân ái _Cấn Duy Cát_ ~1~ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 Lượng giác hóa các bài toán đại số 1. Cách giải Lượng giác hóa là một phương pháp khá rộng. Với mỗi bài toán lại có một nétriêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách giải nào là hiệu quả vớitoàn bộ các bài toán. Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụnghàm số lượng giác để giải bài toán đại số là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp vớicác yêu cầu và giả thiết của bài toán để đưa một đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình,bất phương trình đại số hay hàm số đại số phức tạp về một biểu thức lượng giác tươngđối đơn giản và từ đó sử dụng các công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ralời giải cho bài toán Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của bàitoán bằng các giá trị lượng giác đó. Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặcbiệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị vàhình thức các công thức lượng giác thông dụng. Chẳng hạn - Đặt x = sin α hoặc x = cos α; khi x ϵ [ -1;1] . - Đặt x = tan α hoặc x = cot α; khi x ϵ R. - Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta cũng có thể chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức lượng giác đó. Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán thì tathay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn được một bài toán mới với ẩn là các hàmsố lượng giác. Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giácđã học. Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếubài toán quá “cồng kềnh”. Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến (với những bài giải phươngtrình, bất phương trình) rồi kết luận bài toán. Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theobài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác ~2~ Đề tài: Dùng lượng giác để giải các bài toán đại số 2011 2. Một số dạng thường gặp a. Dạng 1 [ ] || [ [ ] Đặc biệt: m = 1 thì đặt x = sin α hoặc x = cos α Dạng này thường gặp ở những bài toán cho trước điều kiện của biến hoặc sau khigiải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên. Thường là điềuk ...