Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2012-2013 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh

Dưới đây là "Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2012-2013 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh", mời các bậc phụ huynh, thí sinh và thầy cô giáo cùng tham khảo để để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2012-2013 môn Toán - Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh www.VNMATH.comSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITHÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 19 - 10 - 2012ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.Bài 1. (4 điểm) Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:   x  3 (i  1, 2,..., n )  i  n   xi  n  i 1  n 3   xi  0  i 1Bài 2. (4 điểm) y Tìm tất cả các hàm số f : R  R thỏa mãn : f ( x 2  2 f ( y ))   2( f ( x ))2 , x, y  R 2Bài 3. (4 điểm) Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d1 , d 2 ,..., d k . Chứng minh rằng nếu n d1  d 2  ...  d k  k  2n  1 thì là số chính phương. 2Bài 4. (4 điểm) Cho ba đường tròn (C ) , (C1 ) , (C2 ) trong đó (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc trong với (C ) tại B, C và (C1 ) , (C2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của (C1 ) và (C2 ) cắt (C ) tại hai điểm A và E . Đường thẳng AB cắt (C1 ) tại điểm thứ hai M , 1 1 2 đường thẳng AC cắt (C2 ) tại điểm thứ hai N . Chứng minh rằng:   DA DE MNBài 5. (4 điểm) Cho một bảng ô vuông có 2012  2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không ? HẾT www.VNMATH.com ĐÁP ÁN VÒNG 2Bài 1. (4 điểm) Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:   x  3 (i  1, 2,..., n )  i  n   xi  n  i 1  n 3   xi  0  i 1Giải.Đặt ti  xi  3 (i  1,2,..., n)Ta có:  t  0 (i  1, 2,..., n) t  0 (i  1, 2,..., n) t  0 (i  1, 2,..., n)i i i n  n  n i ( t  3)  n   i t  4 n    ti  4n i 1  i 1  i 1 n  n n n  n 3 n 81 n i    i        i     ti  0 3 3 2 2 ( t 3) 0 t 9 ti 27 ti 27 n 0 t 9 ti i 1  i 1 i 1 i 1  i 1 i 1 4 i 1  t  0 (i  1, 2,..., n ) i  9  t  0  t  (i  1, 2,..., n )  n i i 2   ti  4n  n  i 1   ti  4n  n 9 2  i 1   ti (ti  )  0  i 1 2 9Gọi k là số các ti có giá trị bằng 0 và l là số các ti có giá trị bằng . Khi đó, ta có: 2  8n 9  l  4n l  9 2  k  l  n k  n  9  Khi n không chia hết cho 9 hệ vô nghiệm.  Khi n  9m ( m  N * ),ta có k = m, l = 8m, hệ có tập nghiệm: 9 S  (t1 , t2 ,..., tn ) trong đó m giá trị bằng 0 và 8m giá trị bằng 2 3 Hay S  ( x1, x2 ,..., xn ) trong đó m giá trị bằng  3 và 8m giá trị bằng ...