Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2015-2016 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh

"Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2015-2016 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh" bao gồm 5 câu hỏi và có kèm theo hướng dẫn chấm thi, giúp giáo viên có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho công tác đánh giá năng lực của học sinh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2015-2016 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016Câu 1. (4,0 điểm) x 1 Cho hàm số y  (C) . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y  x  m luôn 2x 1cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyếnvới (C) tại A và B. Tìm m để k12016  k22016 đạt giá trị nhỏ nhất.Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x3  3x 2  7 x  6  (3x  7) 3 3x 2  6 x  2.  y  y9 ( x  y )( x  x y  y  2)  6.ln( 2 ) b) Giải hệ phương trình:  x  x2  9 3  y  1  x  xy  2Câu 3. (3,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 4 F  . x2  y 2  2z 2  2z  2 3 ( x  y )3 ( z  2)3Câu 4. (6,0 điểm) a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 3 x  y  2 z -14  0,(Q) : x  2 y - 3 z  16  0 và điểm M  6; 2; 4  . Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộcmặt phẳng (Q) sao cho ME  EF  FM  2 30 . b) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giácAMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng GI vuông gócvới đường thẳng CM.Câu 5. (2,0 điểm) u1  3  Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện:  un2 2014un u  n 1    2016 2016 a) Chứng minh: (un ) là dãy số tăng. un b) Với mỗi n  1, n   , đặt vn  . Chứng minh rằng với mọi n  1 . un 1  2 v1  v2  ...  vn  2016. ------------- Hết ------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤMSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016 -------//-------Câu Đáp án Điểm 4,0 đ x 1 PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là x  m   2 x 2  2mx  m  1  0 (*) (vì 2x 1 1 x không là nghiệm) 2,0 2 Dễ thấy đường thẳng (d ) : y  x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m . 1 1 1 Gọi x1 , x2 là nghiệm của (*), ta có k1   , k2   , k1k2  1 (2 x1  1) 2 (2 x2  1) 2 Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k12016  k22016  2(k1k2 )1013  2 . Dấu bằng xảy ra khi 2,0 k1  k2  2( x1  x2 )  2  0  m  1 ...