Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm 2012 2013 môn Toán

Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm 2012-2013 môn Toán gồm 5 câu hỏi và đáp án, thời gian làm bài trong vòng 180 phút. Mời các bạn cùng tham khảo và thử sức mình với đề thi này nhé.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm 2012 2013 môn Toánhttp://toanhocmuonmau.violet.vnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBẮC GIANGĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNHNĂM HỌC 2012-2013MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNGĐỀ THI CHÍNH THỨCNgày thi:31 /03/2013Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đềĐề thi có 01 trangCâu 1. (5 điểm)Giải các phương trình sau:1) cos 4 x + 2 cos 2 x − 2sin 2 x = 3 ,2) sin 2 x cos 2 x + 4sin x cos 2 x − 3sin 2 x − cos2 x − 2 cos x + 3 = 0,(x ∈ ℝ ).(x ∈ ℝ ).Câu 2. (4 điểm)1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuấthiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = 128n.Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức củaf ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 .Câu 3. (3 điểm)1) Cho dãy số (un) được xác định như sau x1 = 112013  xn +1 = 2  xn + x  , n ≥ 1.n Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn .n →+∞2) Tính giới hạnlimx →04 + x.3 1 + 2 x − 2.xCâu 4. (6 điểm)1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành mộttam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng ∆ cố định. Tìmtập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuônggóc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC.Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN.b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.Câu 5. (2 điểm)Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằngsin A + sin B −2cos C ≤ 2.2--------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................Giám thị 1 (Họ tên và ký)..................................................................................................Giám thị 2 (Họ tên và ký)..................................................................................................http://toanhocmuonmau.violet.vnSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBẮC GIANGHƯỚNG DẪN CHẤMBÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNHNGÀY THI 31/3/2013ĐỀ CHÍNH THỨCMÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNGBản hướng dẫn chấm có 03 trangCâuCâu IPhương pháp – Kết quả1) Phương trình tương đương với(1 + cos 2 x) 2+ 2 cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 34⇔ cos 2 2 x + 14 cos 2 x − 15 = 0 cos2 x = 1⇔⇔ cos2 x = 1 cos2 x = −15⇔ x = kπ , k ∈ ℤ.2) Phương trình đã cho tương đương vớisin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 02⇔ 2cos x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 02⇔ (sin 2x - 1)(cos x + cos x - 2) = 0sin 2 x = 1π x = + kπ⇔ cos x = 1 ⇔4cos x = −2 x = k 2π ,k ∈ ℤ.Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lầnCó C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0.Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lạiVậy có C32 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàngnghìn).Có 9 cách chọn aCó 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a.Có A92 cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lạiVậy có 9.3 A92 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này.TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàngnghìnCó 9 cách chọn aCó C32 cách chọn 2 vị trí cho chữ số a.Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn.Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại.Vậy có 9.8.8. C32 số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp nàyTheo quy tắc cộng, có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8. C32 = 3888 số thoả mãn đầubài.Điểm0,50,50,50,5110,50,50,50,5http://toanhocmuonmau.violet.vn2) Chứng minh được 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = n.2n −1Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8.89Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29−i xi +1k =0i =04Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 2C + C .2 = 207268CâuIII590,50,50,50,51) Dễ thấy xn > 0 với mọi n12Ta có xn +1 =  xn +2013  12013= 2013 ≥ .2 xn .xn  2xn0,5Do đó xn ≥2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới2013 − xn21 2013Mặt khác xn +1 − xn = (− xn ) =≤ 0 do xn ≥ 2013 với n ≥ 2.2 xn2 xnDo đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3.Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn.112013 2013Đặt a = lim xn suy ra a =  a +⇔ a = ± 2013⇔a=n →+∞2a aSuy ra lim xn = 2013 vì xn > 0 với mọi n.n →+∞4 + x. 1 + 2x − 24 + x .( 1 + 2 x − 1) + 4 + x − 2= limx →0xx3 4 + x .( 1 + 2 x − 1)4+ x −2= lim +x →0xx32) Ta có limx →02 4+ x1= lim +23x →0  34+x+2xx(1+2)+1+2+14 1 19= + = .3 4 ...