Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hưng Yên

Mời các bạn học sinh tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hưng Yên tài liệu tổng hợp nhiều đề thi khác nhau nhằm giúp các em ôn tập và nâng cao kỹ năng giải đề. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt được điểm số như mong muốn!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Hưng YênSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯNG YÊNĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNHNĂM HỌC 2017 - 2018Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềCâu I (5,0 điểm)2x −1có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giaox −1y 2x + 1 .điểm của nó và đường thẳng =1. Cho hàm số y =2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị7 hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A  ;1 đến đường thẳng đi qua hai2 điểm cực trị đó lớn nhất.Câu II (4,0 điểm)( 3x + 1) log 4 ( 3x + 1) .11. Tìm nghiệm dương của phương trình 4 x − 2 x − 1 = log 22x  3x π  1 x π2. Giải phương trình 2 2 cos  −  cos  −  + sin=xsin 2 x + sin 2 x .2 8  2 8 2Câu III (4,0 điểm)1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với=AB a=, AD 2a . Mặt bên( SAB ) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặta 6. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .32. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặtphẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnhBC và CC ′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′M và AN theo a .Câu IV (3,0 điểm) Giải hệ phương trình3 x 2 − 2 y 2 − xy + 12 x − 17 y − 15 =02 2 − x + 6 − x − x = y + 2 y + 5 − y + 4.Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcphẳng ( SAC ) bằng()()()T =cos A + cos 2 A + 2 cos B + cos 2 B + 2 cos C + cos 2 C + 2 .1=x12Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi 2 x + xn −1 = 1 , ∀n ≥ 2. n22111. Chứng minh rằng − ≤ xn ≤ với mọi n ≥ 1 .822. Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) khi n → +∞ .----------------- Hết ----------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: .............................Chữ kí của cán bộ coi thi: ....................................................................................................SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯNG YÊN( Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)HƯỚNG DẪN CHẤMKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNHNĂM HỌC 2017 - 2018Môn: TOÁNI. Hướng dẫn chung1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bàilàm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phầnnhư hướng dẫn quy định.3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo khôngsai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. Các điểm thành phần vàđiểm cộng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.II. Đáp án và thang điểmĐáp ánCâuĐiểm2x −1có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tạix −1giao điểm của ( C ) và đường thẳng =y 2x + 1 .1. Cho hàm số y =Câu I.12,0 điểmXét hàm số y =−12x −1. Với ∀x ≠ 1 , ta có y′ =2x −1( x − 1)Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng:0,250,5x ≠ 12x −1= 2x + 1 ⇔  2x −102 x − 3x =Với x = 0 tọa độ giao điểm A ( 0;1)x = 0⇔x = 320,250,5Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A ( 0;1) là: y =− x + 1Với x =33 tọa độ giao điểm B  ;4 22 0,53 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại B  ;4  là: y =−4 x + 102 2. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − 4 , m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm sốCâu I.2 có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A  7 ;1 đến đường thẳng đi qua hai2 3,0 điểmđiểm cực trị đó lớn nhất.0,25Với ∀x ∈  , ta có y′ = 3 x 2 − 6 x + m + 1Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình y′ = 0 có hai nghiệm0 có hai nghiệm phân biệtphân biệt ⇔ phương trình 3 x 2 − 6 x + m + 1 =′⇔∆ >0⇔m 0 , phương trình tương đương2,0 điểm4 x − 2=x − 1 log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1)  − log 4 x0,25⇔ 4 x + x + log 4 x = 3 x + 1 + log 4 ( 3 x + 1) + log 4 log 4 ( 3 x + 1) Đặt log 4 ( 3 x + 1) = y ⇔ 3 x + 1 = 4 yPhương trình trở thành: ⇔ 4 x + x + log 4 x = 4 y + y + log 4 y(1)Xét hàm số f ( t ) = 4t + t + log 4 t trên ( 0;+∞ ) .Hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0;+∞ ) .Phương trình (1) ⇔ f ( x=)f ( y ) ⇔=x yTrở lại phép đặt ta được: 4 x = 3 x + 1 ⇔ 4 x − 3 x − 1 = 0Xét hàm số g ( x ) = 4 x − 3 x − 1 trên  .Chứng minh phương trình g ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên  .0,250,250,250,250,25x 0;=x 1.Có g=( 0 ) g=(1) 0 nên phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm=0,25Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm x = 1.0,25  3x π  1 x π2. Giải phương trình 2 2 cos  −  cos  −  + sin=xsin 2 x + sin 2 x .2 8  2 8 2Câu II.20,25  3x π  1 x π2,0 điểm2 2 cos  −  cos  −  + sin=si ...