Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007

− x +1 (C) 2x + 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.Câu I: Cho hàm số y = Câu II:π⎞ ⎛ 1. Giải phương trình: 2 2 sin⎜ x − ⎟ cos x = 1 12 ⎠ ⎝2. Tìm m để phương trình: đúng 2 nghiệm x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề I − x +1Câu I: Cho hàm số y = (C) 2x + 11. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giaođiểm của đường tiệm cận và trục Ox.Câu II: ⎛ π⎞1. Giải phương trình: 2 2 sin⎜ x − ⎟ cos x = 1 ⎝ 12 ⎠2. Tìm m để phương trình: x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m cóđúng 2 nghiệm x − 3 y + 2 z +1Câu III: Cho đường thẳng d: = = và mặt phẳng 2 1 −1(P): x + y + z + 2 = 01. Tìm giao điểm M của d và (P).2. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong (P) sao cho Δ ⊥ d và khoảngcách từ M đến Δ bằng 42 .Câu IV: 1 x(x − 1)1. Tính I = ∫x 0 2 −4 dx2. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a + b = 3. 3a 3b ab 3 Chứng minh: + + ≤ a2 + b 2 + . b +1 a +1 a + b 2Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):1. Chứng minh với mọi n nguyên dương luôn có nC 0 − (n − 1)C1 + ... + (− 1) C n − 2 + (− 1) n −2 n −1 n n n C n −1 = 0 . n2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox cóhoành độ x ≥ 0 và điểm C thuộc trục Oy có trung độ y ≥ 0 sao cho ΔABCvuông tại A. Tìm B, C sao cho diện tích ΔABC lớn nhất.Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): 1 11. Giải bất phương trình: log 1 2x 2 − 3x + 1 + log 2 ( x − 1) ≥ . 2 2 2 22. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuôngAB = AC = a , AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳngAA1 và BC1. Tính VMA 1BC1 . Bài giảiCâu I:1. Khảo sát (Bạn đọc tự làm) ⎛ 1 ⎞2. Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là A⎜ − ,0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1⎞ Phương trình tiếp tuyến (Δ) qua A có dạng y = k⎜ x + ⎟ ⎝ 2⎠ ⎧ −x + 1 ⎛ 1⎞ ⎪ 2x + 1 = k ⎜ x + 2 ⎟ ⎪ (Δ) tiếp xúc với (C) ⇔ ⎨ ⎝ ⎠ / ⎪⎛ −x + 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ = k coù nghieäm ⎩⎝ 2x + 1 ⎠ ⎧− x + 1 ⎛ 1⎞ ⎪ 2x + 1 = k⎜ x + 2 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ −3 = k (2 ) ⎪ (2x + 1)2 ⎩ Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là ⎛ 1⎞ 3⎜ x + ⎟ −x + 1 2⎠ =− ⎝ ( 2x + 1) 2 2x + 1 1 1 3 ⇔ (x − 1)(2x + 1) = 3(x + ) và x ≠ − ⇔ x − 1 = 2 2 2 5 1 ⇔ x = . Do đó k = − 2 12 1 ⎛ 1⎞ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − ⎜ x + ⎟ 12 ⎝ 2⎠Câu II: ⎛ π⎞1. Giải phương trình: 2 2 sin⎜ x − ⎟ cos x = 1 (1) ⎝ 12 ⎠ ⎡ ⎛ π⎞ π⎤ (1) ⇔ 2 ⎢sin⎜ 2x − ⎟ − sin ⎥ = 1 ⎣ ⎝ 12 ⎠ 12 ⎦ ⎛ π⎞ π 1 ⇔ sin ⎜ 2x − ⎟ − sin = ⎝ 12 ⎠ 12 2 ⎛ π⎞ π π π π ⇔ sin⎜ 2 x − ⎟ = sin + sin = 2 sin cos ⎝ 12 ⎠ 4 12 6 12 ⎛ π⎞ π 5π ⇔ sin⎜ 2 x − ⎟ = cos = sin ⎝ 12 ⎠ 12 12 π 5π π 7π ⇔ 2x − = + k2π hay 2x − = + k2π ( k ∈ Z) 12 12 12 12 π π ⇔ x = + kπ hay x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 32. P/trình cho ⇔ (x − 4 ) − 2 x − 4 +1 + (x − 4 ) − 6 x − 4 + 9 = m (1) ⇔ ( ) 2 x − 4 −1 + ( ) 2 x−4 −3 = m ⇔ x − 4 −1 + x − 4 − 3 = m (1) đặt: t = x − 4 ≥ 0 (1) ⇔ t − 1 + t − 3 = m (∗) Phương trình cho có đúng 2 nghiệm ⇔ phương trình (∗) có đúng 2nghiệm t ≥ 0 Vẽ đồ thị của hàm số f (t ) = t − 1 + t − 3 , t ≥ 0 ⎧4 − 2 t neáu 0 ≤ t ≤ 1 ⎪ Ta có f (t ) = ⎨2 neáu 1 ≤ t ≤ 3 ⎪2 t − 4 neáu t ≥ 3 ⎩ y 4 2 0 1 2 3 xTừ đồ thị ta có ycbt ⇔ 2 < m ≤ 4Cách khác⇔ t − 1 + t − 3 = m và t ≥ 0 { { {⇔ 0 ≤ t < 1 hay 1 ≤ t ≤ 3 hay t > 3 m = 4 − 2t m=2 m = 2t − 4 ⎧ ⎧ ⎪0 ≤ t < 1 ⎪t > 3 ⎪⇔ ⎨2 < m ≤ 4 hay ⎪t 4 − m {1 ≤ t ≤ 3 hay ⎪m > 2 m=2 ⎨ ⎪t ...