Đề thi Giải tích hàm nâng cao

Mời các bạn chuẩn bị thi môn Giải tích hàm nâng cao tham khảo Đề thi Giải tích hàm nâng cao sau đây nhằm chuẩn bị tốt nhất cho kì thi sắp tới. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Giải tích hàm nâng caoĐề thi Giải Tích Hàm Nâng CaoThời gian: 120 phút.Không dùng tài liệu1. Cho x1 , ..., xn là n vectơ độc lập tuyến tính trong một không gian địnhjchuẩn E. Chứng minh có f1 , ..., fn trong E* sao cho fi (xj ) = δi , vớiji, j = 1, 2, . . . , n và δi là số Kronecker.2. Cho E là một không gian Banach và Λ ∈ L(E, E). Giả sử có một sốthực dương δ sao choδ u ≤ Λ(u) , ∀u ∈ E.Chứng minhi) Λ(E) là một không gian vectơ con đóng của E.ii) Λ là một đống phôi từ E vào Λ(E).3. Cho E và F là hai không gian định chuẩn và Λ ∈ L(E, F ). Ta nói Λ làmột toán tử compắc nếu và chỉ nếu Λ(A) com pắc trong F với mọi tậpA bị chặn trong E. Chứng minhi) Λ com pắc nếu và chỉ nếu có một quả cầu B(a, r) trong E sao choΛ(B(a, r)) compắc trong F.ii) Nếu F là một không gian Banach và (Λn ) là một dãy ánh xạ compắchội tụ về Λ trong L(E, F ), thì Λ cũng compắc.iii) Cho E, F, G và H là các không gian định chuẩn, S ∈ L(E, F ),T ∈ L(F, G), và U ∈ L(G, H). Giả sử T là một ánh xạ compắc.Chứng minh T ◦ S và U ◦ T là các ánh xạ compắc.1