Sự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi - tích phân trong không gian Banach

Bài viết tập trung nghiên cứu sự cân bằng tiệm cận của một số lớp phương trình vi - tích phân trong không gian Banach, thỏa mãn một số điều kiện thích hợp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi - tích phân trong không gian BanachTẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Lê Anh Minh1, Đỗ Văn Lợi2, Lê Trần Tình1 TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự cân bằng tiệm cận của một số lớpphương trình vi - tích phân trong không gian Banach, thỏa mãn một số điều kiện thích hợp. Từ khóa: Phương trình vi - tích phân, không gian Banach 1. GIỚI THIỆU Bài toán cân bằng tiệm cận của các phương trình vi phân từ lâu đã được nhiềunhà toán học quan tâm và đã có một số công trình được công bố. Mitchell trong [4],đưa ra một số điều kiện dựa vào độ đo của tập không compact để thu được kết quả vềsự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi phân thường trong không gian Banach.Bên cạnh đó, ta có thể tìm thấy một số kết quả về sự cân bằng tiệm cận của các dạngphương trình vi phân khác nhau: phương trình vi phân đa trị, phương trình vi phân mờ,phương trình vi phân hàm,..., ở các tài liệu ([3], [6], [7],…). Tuy nhiên, sự cân bằngtiệm cận của các lớp phương trình vi - tích phân vẫn chưa được trình bày rõ ràng. Bàibáo này, xét sự cân bằng tiệm cận của một số lớp phương trình vi - tích phân trongkhông gian Banach bằng cách đề xuất một số điều kiện phù hợp cho từng lớp. Cụ thể,với A(t ) là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H ta xét lớp phương trình dx(t )  t   A(t )  x(t )   m(t  s) x( s)ds  , t t0 (1) dt    t0 và trong không gian Banach tổng quát X ta xét lớp phương trình t dx(t )  f (t , x(t ))   k (t , s, x( s))ds, t t0 (2) dt t0trong đó f , k là các toán tử phi tuyến compact. Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và mệnh đề sau (xem [4],[8]) Định nghĩa 1.1 ([8]). Phương trình (1) (hay (2)) được gọi là có sự cân bằng tiệm cậnnếu mọi nghiệm của nó đều có giới hạn hữu hạn tại vô cùng và với mọi h0  H (hay Xtương ứng), đều tồn tại nghiệm x(t ) của (1) (hay (2)) sao cho x(t )  h0 khi t  .1 ThS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức2 TS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức 5 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 Mệnh đề 1.2. ([8]). Cho f :[0, T ]  X  X là một toán tử compact. Khi đó,toán tử t ( Fx)(t )  x0   f ( , x( ))d , t [0,T ], x  D 0cũng là một toán tử compact, với D là tập hợp tất cả các hàm liên tụcx :[0,T ]  X . Mệnh đề 1.3. ([5]) Cho u, f :[0,T ]   , k (t, s) :[0,T ]  [0,T ]   , vớit0 s t là các hàm khả tích và g (r ) với r  0 là một hàm giá trị dương, liên tục,không giảm. Giả sử  t s  u (t ) c    f (s) g (u ( s))   k ( s,  ) g (u ( ))d ds (3) t0   t0 với mọi t t0 , ở đây c là một hằng số không âm. Khi đó u (t ) ds t  s   g ( s) t  f ( s )  t k ( s ,  ) d  ds.  (4) c 0  0 2. SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA MỘT LỚP PHƢƠNG TRÌNH DẠNGTUYẾN TÍNH Xét phương trình (1) trong không Hilbert H . Giả sử: (M1) Với mỗi t t0 , A(t ) là toán tử tuyến tính liên tục mạnh và tự liên hợp; (M2) Hàm m thỏa mãn  L :  |m( ) | d  . 0 (M3) Tồn tại số dương q sao cho  1 sup  | | A(t )h || dt  q  với T  0 , trong đó   L  1. hS (0,1) T ...