Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2012-2013)

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2012-2013)". Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2012-2013) ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO Học kỳ 2 - 2012-2013 THỜI GIAN : 120 PHÚT (Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo ) Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiềucâu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định củamình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thídụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó. Giải các câu sau : 1. Cho {Em } là một dãy tập con đo được trong một không gian đo được (X, M, µ).Đặt fn = χEn và E = ∩∞ n=1 (∪m≥n Em ). Hỏi đẳng thức sau đây đúng hay sai lim inf fn = χE ? n→∞ 2. Cho {fm } là một dãy hàm khả tích trong một không gian đo được (X, M, µ). Giả sử Z |fn |dµ ≤ 1 ∀ n ∈ IN . X P∞ −n Hỏi chuổi số n=1 2 fn (x) có hội tụ hầu hết trên X? 3. Cho µ là độ đo Lebesgue trên IR , f trong L1 (µ), và {fn } là một dãy L1 (µ). Giả sử Z lim |fn − f |dµ = 0. n→∞ IR Cho một số thực dương . Hỏi có hay không một số thực dương δ sao cho nếu E là mộttập con đo được với µ(E) ≤ δ thì Z |fn |dµ < ∀ n ∈ IN ? E 4. Đặt Z Λ(f ) = χ[0,2] f (t)dt ∀ f ∈ Cc (IR). IR (i) Chứng minh Λ là một ánh xạ tuyến tính dương trên Cc (IR). (ii) Đặt µ là độ đo Borel tương ứng với Λ như trong định lý 2.14. Cho E là khoảng[1, 4]. Tính µ([1, 4]). 5. Cho µ là độ đo Lebegue trong IR, M là σ-đại số Lebegue và f thuộc Cc (IR) (liên tụccó giá compắc). Giả sử f ≥ 0 trên IR và Z f dµ = 1. IR Đặt Z ν(E) = f dµ ∀ E ∈ M. E Chấp nhận ν là một độ đo dương. Hỏi support của ν là tập gì? 6. Cho µ là độ đo Lebegue trong IR2 và một số thực dương . Hỏi có hay không mộttập đo được E sao cho E = IR2 và 0 < µ(E) ≤ ? Hết 1