Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2014-2015)

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2014-2015)". Đề thi gồm có 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2014-2015) ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO Học kỳ 2 - 2014-2015 THỜI GIAN : 120 PHÚT (Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo ) Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiềucâu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định củamình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thídụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó. Giải các câu sau : 1. Cho f là một hàm số thực đo được trong một không gian đo được (X, M, µ) sao chof (X) ⊂ [−1, 1]. Hỏi kết luận sau đây đúng hay sai: có một dãy hàm bậc thang {sm } saocho sm (x) ≤ sn (x) với mọi x trong X và m ≤ n, và {sm } hội tụ đều về f trên X. 2. Cho {fm } là một hàm số thực đo được trong một không gian đo được (X, M, µ) vàg là một hàm số khả tích trên X. Giả sử fm (x) ≥ g(x) với mọi x trong X và với mọi sốnguyên n. Hỏi bất đẳng thức sau đây đúng hay sai Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ. X n→∞ n→∞ X 3. Cho (X, M, µ) là một không gian đo được, α và β là hai số thực và f thuộc L1 (X)sao cho α < β và f (X) ⊂ [α, β]. Hỏi kết luận sau đúng hay sai: nếu E là một tập con đođược với µ(E) > 0, ta có Z 1 µ(E) f dµ ∈ [α, β]. E 4. Cho (X, M, µ)là một không gian đo được với µ(x) < ∞, {fm } là một dãy trongL1 (X). Giả sử {fm } hội tụ đều về f trên X. Hỏi kết luận sau đúng hay sai: f ∈ L1 (X) và Z Z lim fn dµ = f dµ. n→∞ X X Hết 1