Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2013-2014)

Mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2013-2014)". Đề thi gồm có 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 120 phút. Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi môn Lý thuyết độ đo (Học kì 2, năm học 2013-2014) ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO Học kỳ 2 - 2013-2014 THỜI GIAN : 120 PHÚT (Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo ) Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiềucâu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định củamình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thídụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó. Giải các câu sau : 1. Cho {fm } là một hàm số thực đo được trong một không gian đo được (X, M, µ).Hỏi đẳng thức sau đây đúng hay sai 1 {x ∈ X : {fn (x)}hội tụ} = ∩∞ ∞ k=1 [∪l=1 [∩m,n≥l {x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| ≤ k }]]. 2. Cho f thuộc L∞ (X, M, µ) và g ∈ f . Hỏi đẳng thức sau đúng hay sai µ({x ∈ X : g(x) > ||f ||∞ }) = 0. 3. Cho µ và ν là hai độ đo dương Borel trên IR. Giả sử Cc (IR) ⊂ L1 (µ), Cc (IR) ⊂ L1 (ν)và Z Z f dµ = f dν ∀ f ∈ Cc (IR). IR IR Hỏi đẳng thức sau đúng hay sai µ((1, 2]) = ν((1, 2]). 4. Cho µ là độ đo Lebegue trong IR, M là σ-đại số Lebegue và f thuộc L1 (IR). Đặt Z F (x) = f dµ ∀ x ∈ IR. (−∞,x] Hỏi f có liên tục đều trên IR? Hết 1