Đề thi Olympic Toán học sinh viên cấp trường năm 2011 môn Giải tích

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên "Đề thi Olympic Toán học sinh viên cấp trường năm 2011 môn Giải tích". Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán học sinh viên cấp trường năm 2011 môn Giải tích ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG NĂM 2011 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1. Tính lim n 2n  4n  6n  8n nGợi ý: 8  n 8n  n 2n  4n  6n  8n  n 4.8n  8 n 4  8 . 2x  3x  2Câu 2. Tính lim x 0 x2  xGợi ý: Sử dụng qui tắc L’Hospital ta được kết quả ln6.Câu 3. Cho hàm số f (x )  x (x  1)(x  2)...(x  100). Tính f (100). f (x )  f (100)Gợi ý: Sử dụng định nghĩa f (100)  lim với f (100)  0 ta được kết quả x 100 x  100100!.   1  x 2 sin , x  0Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số f (x )   x tại điểm x  0 .  0, x 0  Gợi ý: Dùng tính chất kẹp chứng minh f (x ) liên tục tại x  0 , sau đó dùng định nghĩa đểtìm f (0)  0 . Vậy hàm số khả vi tại x  0 . 2 4Câu 5. Tính I   cos xdx 0Gợi ý: Đổi biến với u  x sau đó tích phân từng phần, ta được kết quả   2 . 64 dxCâu 6. Tính I   x 3x 1Gợi ý: Đổi biến với u  6 x sau đó chia đa thức, ta được kết quả 6(ln2-ln3) + 11.