Đề thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc năm 2004 - Môn thi: Đại số

Đề thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc 2004 môn thi: Đại số. Đây sẽ là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi giữa kì và cuối kì
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc năm 2004 - Môn thi: Đại sốHỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phútCâu 1. Cho các ma trận:  1  3   1  3  3 0     A  3 1 ; T   0 2 5 2 0 1  1  3 1     1 a) Tính B = T – 1AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có  AB – BA C  C  AB – BA 2004 2004 .Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– xvà AB + BA = 0. Tính det(A – B) ?Câu 4. Cho ma trận thực A  aij nn thoả mãn điều kiện: i j  0, aij     1, i jChứng minh rằng: a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0. b) Nếu n= 4, ta luôn có detA  0.Câu 5. a) Xác định đa thức f(x) dạng f(x) = x5 – 3x4+2x3 +ax2 +bx +cbiết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2). b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))2=(R(x))2. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhấtbao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm). -------o0o------- 1 ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Đại sốCâu 1. Cho các ma trận:  1  3   1  3  3 0     A  3 1 ; T   0 2 5 2 0 1  1  3 1     1 a) Tính B = T – 1AT. b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.Giải. a ) Ta c ó  7 0 21  1  1    1 1   15 10 5  , B  T AT   3  . T 70  2  4  6 10    b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}.Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có (AB – BA)2004C = C(AB – BA)2004.Giải. Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ, AB và BAcó cùng một vết. Từ đó suy ra ma trận D=AB –BA có vết bằng 0. Vậy nên a b  D 2 2  và D = (a +cb)E.  c a Do đó D2004= (a2 + cb)1002Evà nó giao hoán với mọi ma trận C.Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– x vàAB+ BA = 0. Tính det(A – B) ?Giải. Ta có A2=A, B2=B nên ( A  B)2  A2  AB  BA  B 2  A2  B 2  A  B  ( A  B)  A  AB  BA  B  A  B  A  B 2 2 2 2 2 Đặt det( A  B)   , det( A  B)   . Ta có  2   det( A  B)2  det( A  B)   hay  2 det( A  B)  det( A  B)    2 Suy ra ( ,  )  (0, 0), ( ,  )  (1, 1), ( ,  )  (1, 1). ...