Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic môn Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh thi Olympic Toán sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.ánĐ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013Câu 1: √ un2Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1Câu 2:Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = kGi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1]. Ch ng minh r ng f (x) =x, ∀x [0, 1]Câu 3:Cho f : R → R là hàm kh vi. có đ o hàm c p 2 không âm. Ch ng minh r ng f (x + f (x)) ≥ f (x), ∀x RCâu 4:Tìm hàm s f : R → R th a mãn f (xf (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y RCâu 5:a) Tính tích phân 1 dx x + 1)(x2 + 1) −1 (e x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 )b) Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a,b] và th a mãn đi u ki n f ≤ . 2 2Ch ng minh r ng b a+b f (a) + f (b) f (b − a) ≤ f (x)dx ≤ (b − a) 2 a 2Câu 6:cho f : [a, b] → (a, b) là hàm liên t c. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n t n t i s dương α vàc (a, b) sao cho n f (c) + f (c + α) + ... + f (c + nα) = (n + 1)(c + α) 2 H t Đáp án tham kh o đ thi Olympic toán sinh viên c p trư ng đ i h c Kinh t qu c dân Hà N i năm 2013Câu 1: √ un2Cho dãy s {un } xác đ nh như sau u1 = 2 ; un+1 = un + √ ∀n = 1, 2, ... 2011 2Tìm u1 u2 un lim ( + + ... + ) n→∞ u2 u3 un+1 L i gi i √ 1 1 unT công th c xác đ nh dãy ta có: 2011 2 − = un un+1 un+1 u1 u2 uk √ 1 1 √ 1 1 ⇒ + + ... + = 2011 2 − = 2011 2 √ − u2 u3 uk+1 u1 uk+1 2 uk+1 √Hơn n a un+1 > un ≥ 2, ∀n ∈ N Do đó {un } là dãy đơn đi u. Do đó n u dãy {un } b ch n trênthì nó h i t v a h u h n suy ra u2 n a2 a = lim un+1 = lim un + √ =a+ √ n→+∞ n→+∞ 2011 2 2011 2 √Suy ra a = 0 vô lý do a ≥ 2 V y {un } không b ch n trên nên lim = +∞ n→+∞ u1 un √ ⇒ lim + ... + = 2011 2 n→+∞ u2 un+1Câu 2:Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm s liên t c sao cho f (0) = 0; f (1) = 1Đ t f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f fk = kGi s r ng t n t i s nguyên dương n sao cho fn (x) = x; ∀x [0, 1].Ch ng minh r ng f (x) = x, ∀x [0, 1] L i gi iV i x, y ∈ [0, 1] sao cho f (x) = f (y) , suy ra fn (x) = fn (y) ⇔ x = yV y f đơn ánh. K t h p gi thi t f liên t c, suy ra f đơn đi u trên [0, 1]Có f (0) = 0 < 1 = f (1) , do đó ...