Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số - Hội Toán học Việt Nam

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số giúp các bạn học sinh giỏi có thêm những cơ hội để đánh giá kiếm thức của mình về: Số thực, đạo hàm của đa thức, Vecto... và thêm tự tin để bước vào kì thi Olympic sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số - Hội Toán học Việt NamH I TOÁN H C VI T NAM Đ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2014 Môn thi: Đ i s Th i gian làm bài: 180 phútBài 1. a) Ch ng minh r ng:   1 a1 a1 (a1 − 1) a1 (a1 − 1)(a1 − 2) 1 a2 a2 (a2 − 1) a2 (a2 − 1)(a2 − 2) det  1 a3 a3 (a3 − 1) = (aj − ai ). a3 (a3 − 1)(a3 − 2) 1≤iBài 1. a) Ch ng minh r ng:   1 a1 a1 (a1 − 1) a1 (a1 − 1)(a1 − 2) 1 a2 a2 (a2 − 1) a2 (a2 − 1)(a2 − 2) det  1 a3 a3 (a3 − 1) = (aj − ai ). a3 (a3 − 1)(a3 − 2) 1≤iBài 2. Cho các s th c phân bi t a1 , a2 , a3 . Ch ng minh r ng v i m i b s th c b1 , b2 , b3 t nt i duy nh t m t đa th c P (x) b c không quá 5 th a mãn: P (ai ) = P (ai ) = bi , i = 1, 2, 3,đây P ký hi u đ o hàm c a đa th c P .Gi i. Gi thi t P (x) = 5 ci xi . T các đi u ki n c a bài toán ta suy ra m t h 6 phương trình i=0tuy n tính v i 6 n là c0 , . . . , c5 : 5 5 ai ci = bk , k iai−1 ci = bk , k k = 1, 2, 3 i=0 i=1N u b1 = b2 = b3 = 0 thì đa th c 0 là đa th c duy nh t th a mãn. Th t v y, t gi thi t suy raP (x) = i (x − ai )Q(x) v i Q(x) là đa th c b c không quá 2. T h th c P (ai ) = 0 ta suy raQ(ai ) = 0. Do đó Q ≡ 0. Theo trên, khi các h s bk đ u b ng 0 thì h có nghi m duy nh t. Dođó ta suy h có nghi m duy nh t v i m i b bk .Cách khác:- Xét ánh x φ t không gian các đa th c b c ≤ 5 v i h s th c vào R6 g i m i đa th c Plên (P (a1 ), P (a1 ), . . . , P (a3 ), P (a3 )). Bài toán yêu c u ch ng minh φ là m t song ánh. Hi nnhiên φ là ánh x tuy n tính gi a các không gian có cùng s chi u b ng 6. D dàng ki m tra đư cr ng ker φ = 0 và bài toán đư c ch ng minh.- Cũng có th xây d ng tr c ti p đa th c P (x) b ng phương pháp n i suy. • Thi t l p công th c n i suy Lagrange • Xác đ nh đư c đa th c b c 2 nh n giá tr t i ai • K t thúc bài toánBài 3. a) Ký hi u V4 là không gian vec tơ các đa th c v i h s th c v i b c không quá 4. Đ nh nghĩa 4 f (i)ánh x e : V4 → V4 như sau: v i m i đa th c f ∈ V4 , e(f ) := , trong đó f (i) ký hi u đ o i=0 i!hàm b c i c a f , (f (0) = f ). Ch ng minh r ng e là m t ánh x tuy n tính kh ngh ch t V4 vàochính nó. ∞ f (i)b) Ký hi u V là không gian vec tơ các đa th c v i h s th c. V i m i đa th c f , đ t e(f ) := . i=0 i!Ch ng minh r ng e là m t ánh x tuy n tính kh ngh ch t không gian V vào chính nó.Gi i. a) • Thi t l p ma tr n ánh x đ o hàm trong h cơ s 1, x, . . . , x4 /4! • Do ma tr n c a e theo cơ s trên là chéo nên kh ngh chb) Theo công th c Taylor, ta có, v i m i f ∈ R[x] thì ∞ f (i) (x) f (x + 1) = . i=0 i!Nói cách khác, e(D) g i đa th c f (x) lên f (x + 1). Hi n nhiên đây là m t ánh x tuy n tínhkh ngh ch.Ghi chú:Thí sinh có th dùng phương pháp c a câu a) đ gi i câu b).Thí sinh có th ch ng minh câu b) trư c, t đó suy ra câu a). Em BBài 4. a) Cho ma tr n kh i X = đư c t o thành t các ma tr n đơn v Em , En c p C Enm ...