ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2009 MÔN GIẢI TÍCH

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2009. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2009 MÔN GIẢI TÍCHH I TOÁN H C VI T NAM B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QU C - 2009 Đ thi: Môn Gi i tích Th i gian làm bài: 180 phútCâu 1. Gi s dãy s {xn } đư c xác đ nh theo công th c x1 = 1; x2 = 1; xn = (n − 1)(xn−1 + xn−2 ), n = 3, 4, . . . .Tính x2009 ?Câu 2. Cho hàm s f : [0, 1] → R có đ o hàm c p hai liên t c và f (x) > 0 trên [0, 1]. Ch ngminh r ng 1 1 f (t2 )dt − f (0). f (t)dt ≥ 3 2 0 0Câu 3. Tìm t t c các hàm s f : R → R tho mãn các đi u ki n f (x) ≤ 4 + 2009x, ∀x ∈ R, f (x + y ) ≤ f (x) + f (y ) − 4, ∀x, y ∈ R.Câu 4. Gi s f (x), g (x) là các hàm s liên t c trên R và tho mãn đi u ki n f (g (x)) ≡ g (f (x)), ∀x ∈ R.Ch ng minh r ng n u phương trình f (x) = g (x) không có nghi m th c, thì phương trìnhf (f (x)) = g (g (x)) cũng không có nghi m th c.Câu 5. Cho hai dãy s {xn } và {yn } xác đ nh theo công th c √ yn 1 + x2 , yn+1 = x1 = y1 = 3, xn+1 = xn + , n = 2, 3, . . . n 2 1 + 1 + ynCh ng minh r ng xn yn ∈ (2, 3), n = 2, 3, . . . và lim yn = 0. n→∞Câu 6. Thí sinh làm m t trong hai câu sau: a) Cho P (x) là đa th c b c n v i h s th c. Ch ng minh r ng phương trình 2x = P (x) cókhông quá n + 1 nghi m th c. b) Cho√ (x) − x và f (x) − x3 là nh ng hàm s đơn đi u tăng trên R. Ch ng minh r ng hàm f 32s f (x) − x cũng là hàm đơn đi u tăng trên R. 2 ————————————