ĐÈ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SỐ

Đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2006 Đề thi môn đại số. Đây là một sân chơi lớn để sinh viên có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐÈ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 MÔN ĐẠI SỐ mtHỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút ( ) Xác đị nh các phần tử trên đường chéo chính của ma trậnCâu 1: Cho ma trận ( ) . Dễ dàng tính raGiải: Ta có vớ i => . Từ đó suy ra Do đó các phần tử trên đường chéo chính là ( ) ( ) ( ). Chứng minh rằng ( )Câu 2: Cho ma trậnGiải: Tính toán, ta thấy ma trận chéo hóa được. Do đó, tồn tại ma trận khả nghị ch sao cho ( ) l à ma trận chéo. , trong đó Suy ra ( ) ( ) ( ) => ( ) ( ) ( ) Ta có: do cả đị nh thức này đề u khác .Câu 3: Xác đị nh để hệ phương trình sau có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính ( ) ( ) ( ) ( ) {Giải: Gọi l à ma trận hệ số của phương trình 1 mt ( ) ( ) ( ) ( )) ( Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Dễ dàng suy ra rằng hệ phương trình có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính thì .Câu 4: Cho l à ma trận vuông cấp sao cho mỗi dòng của nó chứa đúng phần tử khác , trong đó phần tửnằm ở đường chéo chính là , phần tử còn l ại là . Chứng minh ma trận khả nghị ch. ( )Giải: Đặt . Ta chứng minh bằng phản chứng. Gi ả sử ngược l ại, suy bi ế n. Kí hi ệ u l à cột thứ của , khi đó có thể coi các cột của l a2 vector phụ thuộc tuyế n tính trong . Đo vậy phải có một tổ hợp tuyế n tính () trong đó ít nhất một hệ số khác . Gi ả sử | | *| | | | | |+ . Đương nhiên | | . Gi ả sử ( ). Từ ( ) suy ra hai phần tử khác không của dòng thứ l à Suy ra | | | | | | mâu thẫn với cách chọn | | . V ậy khả nghị ch.Câu 5: Cho l à ma trận vuông cấp thỏa mãn các đi ề u ki ệ n và . Chứng minh rằngl à ma trận suy bi ế n.Giải: Nế u thì hi ể n nhiên Nế u , x ét ánh x ạ được xác đị nh như sau () Khi đó ( ) l à không gian con của ...