Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 vòng chung khảo

Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình học tập, ôn thi kiểm tra: Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A*|, trong đó A* là ma trận phù hợp của A.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 vòng chung khảo BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút --------------------------Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A*|, trong đó A* là ma trận phùhợp của A.Câu 2. Tìm giới hạn sau: + tan + 3 lim 1 + 2 sin − cos →Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất: −2 −1 3 1 4 1 −3 = −1 3 5 0 −2 1 3Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau: & ! = # $ (ℎ ≠ 0 + % 0(ℎ = 0tại điểm x = 0. 2 &+3 −2 0+ 1+4 2 =6Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính / 3 +2 − + +3 =7 - & 0 1 2 4 & + 5 − 3 0 + 2 1 + 5 2 = 11+ . 2 & − 2 + 0 − 1 −2 2 = 3 - , 2 & + + 2 0 − 2 2 = 5 ----------&&---------- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút -------------------------- 2010 2011Câu 1. Có tồn tại ma trận thỏa mãn: =5 6 & 2012 0hay không? Tại sao? arctan + +Câu 2. Tính giới hạn sau: 0 lim 89 − $ : →không gian ; < :Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong =& = !0, … ,0,1; = = !0, … ,2,1; … ; =< = ! , … ,2,1Câu 4. Cho ! là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng !2012 >2012 biết rằng !0 = 0, ′!0 = 1và CC ! ≥ 0, ∀ ∈ G. 3 & + − 2 0 + 3 1 = −1Câu 5. Giải hệ phương trình sau: + 3 − 2 0 − 2 1 = 1 + H& 2 & − 4 + 0 + 3 1 = −3 − & − + 0 + 2 1 = 0 ----------&&---------- HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011Câu 1. Do |A| = 2010 ≠ 0 nên A khả nghịch. = |J| ⇒ = 2010. ⇒| | = 2010 .| | & %& ∗ ∗ %& ∗ && %&Ta có:Mà A.A-1 = E suy ra |A|.|A-1| = 1 suy ra |A-1 = 1/|A| = 1/2010Suy ra |A*| = 20102010.Câu 2. Do sin2x ~ tanx2 ~ x2 khi x → 0 1 – cosx = 2sin2 (x/2) ~ x2/2 khi x → 0 + tan + 3 3 3nên lim = lim = 1 + 2 sin − cos 2 sin 2 → → −2 −1 3 1 1 −1 3 −2 1 −1 3 −2Câu 3. Biến đổi ma trận A 4 1 −3 −3 41 0 1 10 −6 = → → −1 3 5 0 0 3 5 −1 0 0 ...