Đề thi tuyển chọn hệ kĩ sư tài năng năm 2001

Môn thi : Bài 1: ex Cho hàm s f (x) = (x+1)2 . Xét dãy s {un } xác đ nh b i u0 = 1, un+1 = f (un ) v i m i n nguyên dương. 1/ Ch ng minh r ng phương trình f (x) = x có m t nghi m duy nh t α trong kho ng ( 1 , 1). 2 2/ Ch ng minh r ng un ∈ [ 1 , 1] v i m i n nguyên dương. 2 3/ Ch ng minh r ng f (x) tăng trên đo n [ 1 , 1].
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển chọn hệ kĩ sư tài năng năm 2001 1Trư ng Đ i h c Bách Khoa Hà N i Đ thi tuy n ch n h k sư tài năng năm 2001 Toán Môn thi : Th i gian làm bài : 120 phút 1Bài 1: ex Cho hàm s f (x) = (x+1)2 . Xét dãy s {un } xác đ nh b i u0 = 1, un+1 =f (un ) v i m i n nguyên dương. 1/ Ch ng minh r ng phương trình f (x) = x có m t nghi m duy nh t αtrong kho ng ( 1 , 1). 2 2/ Ch ng minh r ng un ∈ [ 1 , 1] v i m i n nguyên dương. 2 3/ Ch ng minh r ng f (x) tăng trên đo n [ 1 , 1]. Suy ra t n t i m t s 2k ∈ (0, 1) sao cho |un − α| = k |un − α| v i m i n nguyên dương, 4/ Ch ng minh r ng: limn→∞ un = α.Bài 2: V i hai s x, y ∈ R ta đ t d(x, y ) = 1+|−−|y| . |x y x Ch ng minh r ng v i 3 s x, y, z ∈ R ta luôn có d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ).Bài 3: Cho hàm s f (x) có f ”(x) > 0 và a < b, Ch ng minh r ng :1/ f [λx1 +(1 − λ)x2] > λf (x1 )+(1 − λ)f (x2) ∀ x1 , x2 ∈ [a, b], ∀ 0 < λ < 1.2/ b a+b f (x)dx ≤ (b − a)f ( ) 2 aBài 4: Cho a < b và hàm s f (x) có f (x) liên t c trên R th a mãn f (a) = f (b) = 0 bvà a |f (x)|dx = m. Ch ng minh r ng : m |f (x)| ≤ ∀ x ∈ [a, b]. 2 1 Tài li u đư c so n th o l i b ng L TEX 2ε b i Ph m duy Hi p A