Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc vớiđương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 300 . Gọi H là giao điểm thứ haicủa đường thăng BC với đường tròn (O).1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BCtheo R.2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (Otại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùngmột đường tròn và tâm đường tròn đó...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011 NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTNCâu I 1) Giải hệ phương trình 3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23  2  x + y 2 = 2.  2) Giải phương trình 2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1.Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. 2 2 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. 3 n 2 + n + 1 7 + + ... =n  n( n + 1)  1.2 2.3Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc vớiđương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ haicủa đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC.Câu IV 9 Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ 4nhất của biểu thức P = 1 + a 4 + 1 + b 4 . ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)Câu I 3) Giải hệ phương trình 3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23  2  x + y 2 = 2.  4) Giải phương trình 2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1. Híng dÉn 1) Céng c¶ hai ph¬ng tr×nh ta ®îc (2x+3y)2=25 Ta cã hai hÖ 2 x + 3 y = 5  2 x + 3 y = −5 2 Vµ  x + y = 2 x + y = 2 2 2 2 7 7 ;− Giai ra ta ®îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1; 13 13 −1 2) §KX§ x ≥ 2 §Æt 2 x + 1 = a(a ≥ 0); 4 x 2 − 2 x + 1 = b(b > 0) Ta cã (1-b)(a-3) =0 1 ;a=3 th× x3 = 4 b=1 th× x1 = 0; x 2 = 2Câu II 3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. 2 2 4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. 3 n 2 + n + 1 7 + + ... =n  n( n + 1)  1.2 2.3 Híng dÉn1)Ph¸ ngoÆc(1 + x 2 )(1 + y 2 ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. ⇔ ( xy + 1) 2 + 2( x + y ) (1 + xy ) + ( x + y) 2 = 25⇔ ( xy + 1 + x + y ) 2 = 25 ⇔ ( x + 1)( y + 1) 2 = 25 v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0) k 2 + k +1 k +1 k2 k 1 1 1 = + = + = 1− + (k ∈ N )2) xÐt k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) (k + 1) k k +1 kThay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã3 n 2 + n + 1  1  n 7 + + ...  = n + 1 − = n + = n (®pcm) n + 1  n + 1 n( n + 1)  1.2 2.3  Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc vớiđương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = ...