Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức tổng quát và áp dụng

Sử dụng khái niệm đạo hàm Studniarski trong không gian Banach, trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát. Kết quả thu được này sẽ được áp dụng trực tiếp vào bất đẳng thức biến ph}n vectơ v| b|i toán tối ưu vectơ có chung r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức tổng quát và áp dụngTẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) ĐIỀU KIỆN CẦN HỮU HIỆU CHO NGHIỆM YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Trần Văn Sự, Nguyễn Thanh Phong Khoa To{n, Trường Đại học Quảng Nam Email: vansudhdntt@gmail.com, phongspqn@gmail.com Ngày nhận bài: 30/11/2018; ngày hoàn thành phản biện: 28/1/2019; ngày duyệt đăng: 28/1/2019 TÓM TẮT Sử dụng khái niệm đạo hàm Studniarski trong không gian Banach, trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát. Kết quả thu được này sẽ được áp dụng trực tiếp vào bất đẳng thức biến ph}n vectơ v| b|i toán tối ưu vectơ có chung r|ng buộc bất đẳng thức tổng quát. Từ khóa: Điều kiện cần hữu hiệu; Bài toán cân bằng vectơ; Bất đẳng thức biến ph}n vectơ; B|i to{n tối ưu vectơ; Nghiệm hữu hiệu yếu địa phương; Đạo hàm Studniarski.1. MỞ ĐẦU B|i to{n c}n bằng vectơ l| một sự mở rộng của b|i to{n c}n bằng vô hướng doBlum v| Oettli *3+ thiết lập lần đầu v|o năm 1994 bằng việc tổng qu{t hóa b|i to{n lýthuyết trò chơi không hợp t{c kiểu Nash v| b|i to{n bất đẳng thức biến ph}n kiểu vôhướng, xem, chẳng hạn Bianchi, Hadjisavvas, Schaible *4+; Ansari *5+. Hiện nay điềukiện hữu hiệu cho b|i to{n c}n bằng vectơ v| c{c b|i to{n đặc biệt của chúng bao gồmb|i to{n bù vectơ, b|i to{n điểm bất động vectơ, b|i to{n c}n bằng Nash vectơ, b|i to{nđiểm yên ngựa vectơ, b|i to{n cực tiểu hóa phiếm h|m vectơ, b|i to{n tối ưu vectơ v|bất đẳng thức biến ph}n vectơ được nhiều t{c giả quan t}m nghiên cứu (xem *1, 2, 6, 7,8, 10+ v| c{c t|i liệu tham khảo trong đó). Nhiều công cụ to{n học trong giải tíchkhông trơn, giải tích lồi v| giải tích h|m được nhiều nh| nghiên cứu to{n ứng dụng tậndụng triệt để nhằm mục đích thiết lập điều kiện cần, cần v| đủ hữu hiệu cho c{c loạinghiệm của b|i to{n c}n bằng vectơ cũng như c{c trường hợp đặc biệt của b|i to{nchẳng hạn như đạo h|m theo hướng suy rộng, đạo h|m Dini, dưới vi ph}n suy rộng,dưới vi ph}n Clarke, dưới vi ph}n Michel-penot, dưới vi ph}n Mordukhovich, v.v.,xem, chẳng hạn Gong *1+; Long, Huang v| Peng *2+, Luu *7+; Su v| Phong *10+. 1Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm yếu địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc bất đẳng thức< Đạo h|m Studniarski cấp cao được đề xuất bởi chính Studniarski *6+ v|o năm1986 v| sau đó t{c giả đã {p dụng công cụ n|y để thiết lập c{c điều kiện cần v| đủ hữuhiệu cấp một v| cấp cao cho cực tiểu chặt địa phương với c{c h|m không trơn trongc{c b|i to{n tối ưu hóa vectơ v| bất đẳng thức biến ph}n vectơ, xem, chẳng hạnStudniarski *6+; Luu *7+; Giorgi v| Guerraggio *8+. Trong lớp b|i to{n c}n bằng vectơtổng qu{t, c{c loại nghiệm hữu hiệu yếu bao gồm cả nghiệm hữu hiệu yếu địa phươngđược x}y dựng v| nghiên cứu đầu tiên bởi Gong *1+ v| sau đó chúng được {p dụng đểđịnh nghĩa trở lại cho b|i to{n tối ưu vectơ v| bất đẳng thức biến ph}n vectơ bởi mộtsố t{c giả kh{c khi l|m việc với c{c trường hợp riêng của b|i to{n c}n bằng vectơ, xem,chẳng hạn Long, Huang, Peng *2+. Chúng tôi nhận thấy rằng c{c điều kiện cần hữuhiệu cho c{c loại nghiệm của b|i to{n c}n bằng vectơ tổng qu{t theo ngôn ngữ của đạoh|m Studniarski với lớp h|m không trơn l| chưa được nghiên cứu trong không gian vôhạn chiều cũng như một số {p dụng của chúng. Mục đích của chúng tôi trong b|i b{o n|y l| sử dụng kh{i niệm đạo h|mStudniarski để mô tả c{c điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phươngcủa b|i to{n c}n bằng vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t v| một số {p dụngcủa chúng. Kết quả thu được của chúng tôi l| mới v| chưa từng được nghiên cứu trướcđ}y v| trong tương lai chúng có thể được {p dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệmcủa b|i to{n c}n bằng tham số v| x}y dựng c{c thuật to{n số cho b|i to{n c}n bằngvectơ nói chung v| b|i to{n tối ưu vectơ có r|ng buộc bất đẳng thức tổng qu{t nóiriêng bởi c{c nh| nghiên cứu thuật to{n.2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho X, Y và Z l| c{c không gian Banach thực v| C l| một tập kh{c rỗng của X,trong đó Y và Z được sắp thứ tự bởi c{c nón lồi đóng v| có phần trong kh{c rỗng Q vàS tương ứng. Phần trong v| bao đóng của một tập con A trong X được ký hiệu tươngứng bởi intA và clA. Không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z theo thứ tự được ký hiệubởi Y * và Z * , v| c{c nón đối ngẫu của Q và S được định nghĩa tương ứng như sau: Q  {  Y*:   , q   0 q  Q}và S   {  Z *:   , s   0 s  S}.Chú ý rằng c{c nón Q  và S  l| lồi v| đóng yếu*. Với mỗi x0  X và   0, hình cầumở t}m x0 và bán kính  được ký hiệu bởi B ( x0 ,  )   x  X : x  x0    , ở đ}y . ký hiệu của chuẩn trong X. 2TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 14, Số 1 (2019) Cho song hàm F: XX Y thỏa mãn điều kiện c}n bằngF ( x, x)  0  x  X , v| h|m r|ng buộc g : X  Z . Ký hiệu bởiK  {x  C : g(x)  -S} . Bài toán c}n bằng vectơ với r|ng buộc bất đẳng thức tổngquát trong bài báo n|y được ký hiệu l| (GVEP) v| được định nghĩa như sau: Tìm x  K sao cho F ( x, x)  int Q  x  K  . (1)Định nghĩa 2.1 ([1,2]) Vectơ x  K thỏa mãn (1) được gọi l| nghiệm hữu hiệu yếu củab|i to{n (GVEP) v| tập K được gọi l| chấp nhận được của b|i to{n (GVEP).Định nghĩ ...