Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc và áp dụng

Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát được ký hiệu bởi (CVEP) trong không gian vô hạn chiều sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm Gâteaux.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc và áp dụng ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ TỐI ƯU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC VÀ ÁP DỤNG Trần Văn Sự1 Nguyễn Thanh Phong2 Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát được ký hiệu bởi (CVEP) trong không gian vô hạn chiều sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm Gâteaux. Dưới các giả thiết phù hợp liên quan đến tính lồi tổng quát cho đạo hàm theo hướng của các hàm mục tiêu, các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán (CVEP) được thiết lập theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng. Các điều kiện tối ưu của (CVEP) cũng được mô tả theo ngôn ngữ đạo hàm Gâteaux. Một số ứng dụng cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc cũng được cung cấp. Từ khóa: Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc, Bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc; Điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục, Đạo hàm theo hướng, Đạo hàm Gâteaux. 1 . Mở đầu Bài toán cân bằng vectơ có vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng và đặc biệt là ứng dụng trong lĩnh vực điều kiện tối ưu bởi vì nó bao hàm được nhiều bài toán khác nhau như trường hợp đặc biệt, chẳng hạn bài toán tối ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán bù vectơ, bài toán điểm yên ngựa vectơ, bài toán cực tiểu phiếm hàm, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, v.v. (xem [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]). Ngày nay điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và áp dụng nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước. Sử dụng tính lồi tổng quát của các hàm mục tiêu, Gong [1] đã thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc cùng với áp dụng kết quả nhận được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có cùng ràng buộc. Sử dụng tính khả vi Gâteaux và Fréchet cho các hàm mục tiêu, Gong [2] đã nhận được kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho các loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và ứng dụng. Về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu dùng công cụ của giải tích lồi liên quan đến sự tách các tập lồi và giải tích không trơn liên quan đến tính khả vi của các hàm ràng buộc của các bài toán cân bằng vectơ được nghiên cứu khá chi tiết bởi Gong [3], Wei và Gong [5]. Gần đây nhất, Sự [6], Hằng và cộng sự [7] đã thiết lập các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của các bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát sử dụng công cụ của đạo hàm theo hướng. Tuy nhiên, trường hợp điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc thiết lập dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm Gâteaux là chưa được nghiên cứu. 1 . TS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam 2 . ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam 1 TRẦN VĂN SỰ - NGUYỄN THANH PHONG Mục đích của chúng tôi trong bài báo này là nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toàn cục của các bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát trong không gian Banach dựa theo ngôn ngữ của đạo hàm theo hướng và đạo hàm Gâteaux cùng với áp dụng kết quả thu được cho bài toán tối ưu vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc. Các kết quả nhận được của chúng tôi trong bài báo này là hoàn toàn mới và chưa từng được nghiên cứu trước đây. 2 . Kiến thức chuẩn bị Tiểu mục này trình bày các quy ước chung, các khái niệm liên quan đến đạo hàm theo hướng, đạo hàm Gâteaux, hàm lồi theo nón và xây dựng nghiệm hữu hiệu toàn cục cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (CVEP) và hai trường hợp đặc biệt của nó là bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc (CVOP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (CVVI). Xuyên suốt bài báo này, ta quy ước X, Y, Z và W là các không gian tôpô tuyến tính thực, trong đó Y và Z được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng nhọn có phần trong khác rỗng C và K, tương ứng. Cho X0 là một tập con khác rỗng của không gian X; một song hàm F : X0 × X0 → Y thỏa mãn điều kiện cân bằng F(x0, x0) = 0 ∀x0 ∈X0, và các hàm ràng buộc g : X0 → Z, h: X0 → W . Đặt S∈={x X0 :∈g(x) -K, =h(x) 0}. Tập S được gọi là chấp nhận được của các bài toán (CVEP), (CVOP) và (CVVI). Gọi Y* và Z* lần lượt là các không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z. Nón đối ngẫu của C và K được định nghĩa tương ứng bởi C* ={ξ Y∈*: ξ0≥ c∀ C}∈ và K* {=η Z* :∈η, k< 0>≥k ∀K}.∈ Tựa phần trong của C* được ký hiệu bởi C≠ và được định nghĩa bởi C≠ ={ξ C∈*: ξ>0 c∀ C\{0}}.∈ Bao nón, bao đóng và phần trong của một tập con không rỗng D⊂Y được ký hiệu tương ứng bởi cone(D) ={td : d D∈, t 0≥}, ...