Bài giảng Toán 2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Bài giảng chương 1 trang bị cho sinh viên những kiên thức về toán đạo hàm riêng. Các nội dung cần nắm bắt trong chương gồm có: Hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient, cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM RIÊNG ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vnhttps://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai -giang-toan2 NỘI DUNG CHÍNH1. Hàm nhiều biến2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến3. Đạo hàm riêng4. Đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient5. Cực trị31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 2 1. HÀM NHIỀU BIẾN • Thể tích của khối trụ là ? = ?? 2 ℎ • Thể tích ? = ? ?, ℎ là hàm số theo 2 biến ? và ℎ.Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variablesCho ? là tập hợp các bộ ? con số có dạng ?1 , ?2 , … , ?? .Một hàm số (function) ? trên ? là một quy tắc mà ứng vớimỗi phần tử của ? cho tương ứng duy nhất một con sốthực ? = ? ?1 , ?2 , … , ?? .Miền ? được gọi là tập xác định (domain) của ?.Tập các giá trị có thể của ? gọi là miền giá trị (range). 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 331/12/2015 Toán 2 - Chương 1 4 Ví dụ hàm hai biến31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 5 Ví dụ hàm ba biến31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 6 Đồ thị hàm hai biến• Tập hợp các điểm ?, ?, ? ?, ? với ?, ? thuộc tập xác định của ? được gọi là đồ thị (graph) của ?.31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 731/12/2015 Toán 2 - Chương 1 831/12/2015 Toán 2 - Chương 1 9 2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC• Nếu giá trị của ? ?, ? có thể gần ? tùy ý với mọi ?, ? đủ gần ?0 , ?0 thì ta nói ? có giới hạn bằng ? khi ?, ? tiến về ?0 , ?0 .Định nghĩa 2. Giới hạn - limitTa nói ? ?, ? có giới hạn bằng ? khi ?, ? tiến về ?0 , ?0 và viết lim ? ?, ? = ? ?,? → ?0 ,?0nếu với mọi ? > 0 đều tồn tại ? > 0 sao cho với mọi ?, ? thuộc miền xác định của ?0 < ? − ?0 2 + ? − ?0 2 < ? ⇒ ? ?, ? − ? < ?31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 1031/12/2015 Toán 2 - Chương 1 11 Sự liên tục của hàm hai biếnĐịnh nghĩa 3. Liên tục – continuousTa nói ? ?, ? liên tục tại điểm ?0 , ?0 nếu1. ? xác định tại ?0 , ?0 ,2. lim ? ?, ? tồn tại, ?,? → ?0 ,?03. lim ? ?, ? = ? ?0 , ?0 . ?,? → ?0 ,?0Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọiđiểm thuộc tập xác định của nó.31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 12 3. ĐẠO HÀM RIÊNG• Cho hàm hai biến ? ?, ? . Cố định ? = ?0 ta được hàm một biến ? ? = ? ?, ?0 .• Đạo hàm của hàm số này tại ?0 gọi là đạo hàm riêng (viết tắt là ĐHR) theo biến ? của ? tại điểm (?0 , ?0 ).Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivativeĐạo hàm riêng theo biến ? của hàm số ? ?, ? tại điểm ?0 , ?0 được định nghĩa là ?? ? ?0 + ℎ, ?0 − ? ?0 , ?0 = lim ?? ? ,? ℎ→0 ℎ 0 031/12/2015 Toán 2 - Chương 1 1331/12/2015 Toán 2 - Chương 1 14• Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa ?? ? = ? ?, ?0 ?? ? ,? ?? ? 0 0 0• ĐHR theo biến ? của ? = ? ?, ? tại điểm ?0 , ?0 được ký hiệu theo nhiều cách ?? ?? , ?? ?0 , ?0 , hoặc , ?? ?0 , ?0 ?? ? ,? ?? ? ,? 0 0 0 0• ĐHR theo biến ? của ? = ? ?, ? cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu ?? ?? ?? hoặc ?? ?? ??31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 15• Tương tự ta có định nghĩa ?? ? ? ?0 , ?0 + ℎ − ? ?0 , ?0 = ? ?0 , ? = lim ?? ?0 ,?0 ?? ?0 ℎ→0 ℎ• Đạo hàm riêng theo biến ? của ? = ? ?, ? tại điểm ?0 , ?0 được ký hiệu theo nhiều cách ?? ?? , ?? ?0 , ?0 , hoặc , ?? ?0 , ?0 ?? ? ,? ?? ? ,? 0 0 0 0• ĐHR theo biến ? của ? = ? ?, ? cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu ?? ?? ?? hoặc ?? ?? ?? 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 1631/12/2015 Toán 2 - Chương 1 17 Véc-tơ gradient – Tính ĐHR• Để tính ĐHR theo ?, ta coi ? là hằng số.• Để tính ĐHR theo ?, ta coi ? là hằng số.Ví dụ 1. ?? ??a) Tính , tại điểm 4, −5 biết ?? ?? ? ?, ? = ...