Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 3

Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 3 bao gồm những nội dung về đạo hàm theo hướng; ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng; sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến; định lý (cách tính đạo hàm theo hướng); pháp tuyến – tiếp diện của mặt cong; khai triển Taylor.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 3ĐẠOHÀMVÀVIPHÂN Phần3 ĐạohàmtheohướngĐịnhnghĩa: ChohàmfxácđịnhtronglâncậnM0vàmột r a hướngchobởivector. r a ạiM0: Đạohàmcủaftheohướngt r f ( M0 ) f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 ) r = lim a t 0 t f ( M0 ) r r chỉtốcđộthayđổicủaftheohướnga a Ýnghĩahìnhhọccủađạohàmtheohướng r Xétđườngcong L : z ( t ) = f ( M 0 + ta ) r f ( M0 ) f ( M 0 + t.a ) − f ( M 0 ) r = lim a t 0 t z ( t ) − z ( 0) = lim = z ( 0) t 0 tlàhệsốgóctiếptuyếncủađườngcongLtạiM0. SơđồMatlabđểvẽtiếptuyến r S : z = f ( x, y ) , M 0 ( x0 , y0 ) , a = ( a1 , a2 ) 1. VẽmặtcongSkhuvựcxungquanhM0vàM0. r 2. VẽđườngcongL : z ( t ) = f ( M 0 + ta ) x = x0 + ta1 , y = y0 + ta2 , z = f ( x0 + ta1 , y0 + ta2 )3. VẽtiếptuyếnvớiLtạiM0.Lưuý:tiếptuyếnđi r u = ( a1 , a2 , z ( 0 ) ) quaM0vànhậnlàmvector chỉphương. Địnhlý(cáchtínhđạohàmtheohướng) r e = ( e1, e2 )NếuhàmfkhảvitạiM0,là r evectorđơnvị,đạohàmtheohướngtạiM tồn 0tại,khiđó: f ( M0 ) f ( M0 ) f ( M0 ) r = e1 + e2 e x yHàm3biếncũngđượctínhtươngtự. Côngthứctổngquát r a làvectortùyý: f ( M0 ) f ( M 0 ) a1 f ( M 0 ) a2 r = r + r a x a y a (hàm2biến)f ( M0 ) f ( M 0 ) a1 f ( M 0 ) a2 f ( M 0 ) a3 r = r + r + r a x a y a z a (hàm3biến) Vídụ1.TìmđạohàmtheohướngdươngcủatrụcOxtạiđiểm(2,1)củahàmsố 2 2 f ( x, y ) = xy − 2 x yVectorđơnvịtheohướngdươngcủaOxlà: r e = ( 1,0 ) f ( −2,1) r = f x ( −2,1) .1 + f y ( −2,1) .0 e = 9 .1 −12 .0 = 9 r a = ( 1,1, −1) ại2.Tìmđạohàmtheohướngt M = ( 2,1,2 ) của f ( x, y, z ) = x 2 + 2 xz − 3 y 2 z 3 r a 1 r = ( 1,1, −1) = ( e1, e2 , e3 ) a 3 f (M) r = f x ( M ) .e1 + f y ( M ) .e2 + f z ( M ) .e3 a 1 1 � 1 � 15 = 0. + 6. + ( −9 ) .�− �= 3 3 � 3� 3 VectorGradient rr r ( )Gọi i , j , k làcácvectorđơnvịtrêncáctrụctọađộ,fcócácđạohàmriêngtại M 0 ( x0 , y0 ) .GradientcủaftạiM là: 0 (�f ( M 0 ) = grad ( M 0 ) = f x ( M 0 ) , f y ( M 0 ) ) r r = f x ( M 0 ) .i + f y ( M 0 ) . j Liênhệ f ( M0 ) f ( M0 ) f ( M0 ) r r = e1 + e2 = ( f ( M 0 ) , e ) e x yf ( M0 ) r r = �f ( M 0 ) . e .cos ϕ = �f ( M 0 ) .cos ϕ e r làgócgiữa gradf ( M 0 ) &e f ( M0 ) r đạtgiátrịlớnnhấtkhivàchỉkhi: e cos ϕ = 1 ϕ =0 TổngquátHướngcủavectorgradientlàhướngmàhàmftăngnhanhnhất. r � f ( M0 ) � a r =�f ( M0 ) , r � a � a � Vídụ f (2, −3,0)1/Tìm grad f (2, −3,0), r a yz r Với: f ( x, y, z ) = x.e , a = (2, −3,0) ( ) ( �f ( x, y, z ) = f x , f y , f z = e yz , xze yz , xye yz ) �f (2, −3,0) = ( 1,0, −6 ) rf (2, −3,0) a = �f (2, −3,0). r = ( 1,0, −6 ) . ( 2, −3,0 ) r a a 13 ...