Định lí giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng

Trong bài báo cáo này, các tác giả phát biểu định lí trung bình xấp xỉ cho hàm nửa liên tục dưới trên không gian Asplund. Sử dụng định lí giá trị trung bình xấp xỉ để xây dựng ba điều kiện cần và đủ đặc trưng cho tính tựa lồi vững của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian Asplund thông qua dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí giá trị trung bình xấp xỉ và ứng dụng 5 - 2016 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Bùi Thị Hòa, Trần Thị Tú Trinh (Sinh viên năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Phạm Duy Khánh TÓM TẮT Trong bài báo cáo này, chúng tôi phát biểu định lí trung bình xấp xỉ cho hàm nửa liêntục dưới trên không gian Asplund. Sử dụng định lí giá trị trung bình xấp xỉ để xây dựng bađiều kiện cần và đủ đặc trưng cho tính tựa lồi vững của hàm số nửa liên tục dưới trênkhông gian Asplund thông qua dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich. Trongbài nghiên cứu của chúng tôi, các đặc trưng đưa ra là các kết quả mới. Từ khóa: dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich, tựa lồi, tựa lồi vững.1. Định lí giá trị trung bình xấp xỉ Định lí 1.1. (định lí giá trị trung bình xấp xỉ) Cho X là không gian Asplund, :X→ là hàm chính thường, nửa liên tục dưới trên X, hữu hạn tại hai điểm cho trước a b. Khi đó tồn tại c ∈ [a, b) sao cho (c) hữu hạn và (x) ≥ (c) ∀x ∈ [a, b]. Hơn nữa, tồn tại các dãy xk c và xk* ( xk ) thỏa ( b) ( a) lim inf xk* , b x k b a k b c lim inf xk* , b a ( b) ( a) k Trong trường hợp c a ta có lim xk* ,b a (b) (a) . k2. Ứng dụng Mệnh đề 2.1. Cho : X là hàm nửa liên tục dưới trên không gian BanachX. Xét các phát biểu sau: (a) Hàm là - tựa lồi vững; (b) y x x* , y x min y x , x y , x* x . Khi đó a b . Chứng minh: Giả sử là hàm - tựa lồi vững và x, y X thỏa y x . Tachứng minh: x* , y x min y x , x y x* x . Giả sử x * là phần tử bất kì bất kì trong x . Nếu x y thì 43 x* , y x 0 min y x , x y . Bây giờ ta xét trường hợp x y . Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: y x x y . Trong trường hợp này ta có: min y x , x y y x . Theo định lí Haln-Banach tồn tại v* BX * sao cho v* , y x y x . Xét hàmf :X cho bởi f z z v* , z x z X. Khi đó f x x và f y y v* , y x y y x x Do là hàm - tựa lồi vững nên f là hàm tựa lồi. Do đó với mỗi t 0,1 ta có: x f x f x t y x x t y x t v* , y x x t y x t y x Lấy 0 bất kì. Do x * x nên tồn tại r 0 sao cho: z x x* , z x z x z Br x . Chọn t 0,1 đủ bé sao cho x t y x Br x . Thay z x t y x vào bấtđẳng thức trên ta thu được x t y x x t x* , y x t y x . Do đó: t y x ...