Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn

Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểu Bernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R 4 2 với điều kiện hàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặnNguyen Le Tram/Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặnĐỊNH LÍ KIỂU BERNSTEIN TRONG R42 VỚI ĐỊNH THỨC JACOBI BỊ CHẶNNguyen Le TramKhoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng BìnhNgày nhận bài 23/12/2016, ngày nhận đăng 26/6/2017Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một định lí kiểuBernstein cho mặt cực đại 2-chiều trong không gian Minkowski R42 với điều kiệnhàm số xác định mặt có định thức Jacobi bị chặn.1Mở đầuMặt cực tiểu [11] được giới thiệu lần đầu bởi Lagrange năm 1762, đó là đồ thị của các hàmtrơn xác định trong một miền mở, liên thông trên R2 thỏa mãn phương trình(1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0.(1)Sau đó mặt cực tiểu được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu, trong đó đáng chú ýnhất là công trình của S.Bernstein.Định lí 1.1 (S. Bernstein [11] ). Cho f là nghiệm của (1), nếu f xác định trên toàn R2thì đồ thị của f là mặt phẳng.Định lí này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, việc mở rộng định lí chocác siêu mặt cực tiểu [11] trong các không gian với số chiều lớn hơn được nghiên cứu rấtnhiều trong thập niên 60 của thế kỉ XX, tiêu biểu là Federer, Fleming, de Giogi, Almgrenvà Simon. Tổng hợp các kết quả này ta được: nếu f : Rn −→ R là nghiệm của phương trìnhsiêu mặt cực tiểu trong Rn+1 thì f là hàm affine khi n ≤ 7, còn với n > 7 thì định lí khôngcòn đúng. Với mong muốn phát biểu một định lí tương tự đúng với mọi n, nhiều nhà toánhọc đưa ra các định lí kiểu Bernstein với hàm số f thỏa mãn một số điều kiện cụ thể.Định lí 1.2 (J. Moser [9]). Cho z = f (x1 , x2 , ..., xn ) xác định trên Rn có đồ thị là một siêumặt cực tiểu trong Rn+1 . Nếu | 5 f | ≤ β < +∞ thì f là hàm affine hay đồ thị của nó làmột siêu phẳng.Định lí 1.3 (J. C. C.Nitscher và Ecker - Huisken [4]). Cho z = f (x1 , x2 , ..., xn ) xác địnhtrên Rn có đồ thị là một siêu mặt cực tiểu trong Rn+1 . Nếup| 5 f (x)| = o |x|2 + |f (x)|2 , ∀x ∈ Rnthì f là hàm affine.1)80letram07st@gmail.com (N. L. Tram).Trường Đại học VinhTạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90Trong trường hợp mở rộng đối chiều cao, cho f : Rn −→ Rm , n ≥ 2, m ≥ 2, f (x1 , ..., xn ) =có đồ thị(f 1 (x1 , ...xn ), ..., f m (x1 , ..., xn ))Gf := {(x1 , ..., xn , f 1 (x1 , ...xn ), ..., f m (x1 , ..., xn )) : (x1 , ..., xn ) ∈ Rn },nếu Gf là mặt cực tiểu n-chiều thì Gf có phải là n-phẳng hay không. Câu trả lời là không.Ta có thể xét ví dụ đơn giản trong trường hợp n = 2, m = 2; cho f (x1 , x2 ) = (x1 −x2 , 2x1 x2 )thì theo hình học định cỡ [6] Gf là một đường cong phức nên là mặt cực tiểu và tất nhiênGf không phải là mặt phẳng. Trong trường này các điều kiện cụ thể của f cũng đã đượcthêm vào để có thể mở rộng thành các định lí kiểu Bernstein đối chiều cao.Định lí 1.4 (Hildebrandt-Jost-Widmen [8]). Cho f (x1 , ..., xn ) = (f 1 (x1 , ...xn ), ...,f m (x1 , ..., xn )) là hàm số khả vi cấp 2 trên Rn có đồ thị là mặt cực tiểu. Giả sử tồn tạihằng số β sao cho(1 nếu s = 1π√β < cos−1,K =, s = min(m, n)2 nếu s = 22 sKvà với mọi x ∈ Rn có1∆f (x) = {det(δij + fxsi (x)fxsj (x))} 2 ≤ βthì f 1 , ..., f m là các hàm affine hay Gf là n-phẳng trong Rn+m .Định lí 1.5 (Hasanis-Halilaj-Vlachos [7]). Cho f : R2 −→ R2 là các hàm trơn sao chođồ thị Gf là mặt cực tiểu trong R4 . Nếu định thức Jacobi Jf của f bị chặn thì Gf là mặtphẳng.2Mặt cực đại 2-chiều trong Rnn−2Trên Rn , n ≥ 3, ta xác định một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, ký hiệuh·, ·ik , k = 1, 2, ..., n cho bởihx, yik =n−kPxi yi −i=1nPxi yi ,i=n−k+1trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Không gian vectơ Rn cùng với dạngsong tuyến tính h·, ·ik được gọi là không gian Minkowski Rnk . h·, ·ik xác định dạng toànphương Γ,Γ(x) =n−kXi=1x2i −nXx2j .(2)j=n−k+1Một vectơ x trong Rnk được gọi là:• vectơ kiểu không gian (spacelike) nếu hx, xik > 0, hoặc x = 0;81Nguyen Le Tram/Định lí kiểu Bernstein trong R42 với định thức Jacobi bị chặn• vectơ kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xik < 0;• vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x 6= 0, hx, xik = 0.Một mặt tham số 2-chiều được gọi là mặt kiểu không gian nếu vectơ tiếp xúc tại mọi điểmlà vectơ kiểu không gian. Với p là một điểm bất kì của M , đặtTp M = {v ∈ Rnk v là vectơ tiếp xúc của M },Np M = {u ∈ Rnk u là vectơ pháp tuyến của M }.Bổ đề 2.1. Cho M là mặt tham số (n − k)-chiều kiểu không gian trong Rnk . Khi đó∀p ∈ M, ∀v ∈ Np M, v 6= 0 thì v là vectơ kiểu thời gian.Chứng minh. Vì v 6= 0 nên ta có thể bổ sung thêm k − 1 vectơ v2 , ..., vk của Np Msao cho {v1 = v, v2 , ..., vk } là một cơ sở của Np M . Bằng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt ta có thể giả thiết {v1 , v2 , ..., vk } là một hệ trực giao.Nếu {u1 , ..., un−k } là một cơ sở trực giao của Tp M thì vì Tp M ⊕ Np M = Rn nên{u1 , ...un−k , v1 , ..., vk } là cơ sở trực giao của Rn . Giả sử đối với cơ sở này Γ có dạng chínhtắc lànPΓ(x) =ai x2i ,i=1ta có∀i = 1, ..., n − k,ai = Γ(ui ) = hui , ui ik > 0,nên theo định lí về chỉ số của dạng toàn phương và (2) ta cóaj < 0, ∀j = n − k + 1, ..., nhayhvj , vj ik < 0, ∀j = 1, ..., k.Vậy, v là vectơ kiểu thời gian.2Cho M là mặt tham số 2-chiều trong Rnn−2 , n ≥ 3 cho bởiX:D−→ Rnn−2(x1 , x2 ) 7−→ (f 1 (x1 , x2 ), ..., f n (x1 , x2 )),với D là tập mở, liên thông trong R2 và f i : D −→ R, i = 1, ..., n là các hàm trơn.∂X∂XVới mọi điểm p ∈ M, M được gọi là chính quy tại p nếu các vectơ X1 = ∂x(p), X2 = ∂x(p)12độc lập tuyến tính. M được gọi là mặt tham số chính quy nếu M chính quy tại mọi điểm.Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của M tại p xác định bởi82Trường Đại học VinhTạp chí khoa học, Tập 46, Số 2A (2017), tr. 80-90E = hX1 , X1 in−2 ,F = hX1 , X2 in−2 ,G = hX2 , X2 in−2 .Nếu M là mặt kiểu không gian thì E > 0, G > 0, hơn nữa, ∀(a, b) 6= (0, 0) ta cóhaX ...