Định lí về giá trị trung bình

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học môn Toán cao cấp - Các định lí về giá trị trung bình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí về giá trị trung bình Tóm tắt lý thuyếta. Các định lí trung bình.Định lí Ferma. Cho tập mở và hàm . Nếu f đạt cực trị tại thìkhả vi tại và .Định lí Roll. Cho liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a,b. Giả sử , khi đó tồn tại một số sao cho .Định lí Cauchy. Giả sử hai hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vitrên khoảng mở (a, b). Khi đó tồn tại một số saocho .N ếu thì .Định lí Lagrange. Nếu liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảngmở (a, b) thì tồn tại một điểm sao cho .b. Công thức Taylor.Cho hàm f xác định trên lân cận nào đó của a. Giả sử f khả vi đến cấp n tại a. Kí hiệulà đa thức theo biến x . có tính chất sauCông thức Taylor cho ta mối liên hệ giữa hàm f(x) và đa thức .*Công thức Taylor đạng Peano. Cho tập mở và nếu hàm khả vi đến ntại thì .trong đó, là vô cung bé bậc cao hơn trong quá trình .*Công thức Taylor với số dư Lagrange. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n+1 trong lân cận nào đócủa điểm . Thế thì với mỗi x thuộc lân cận đó, tồn tại nằm giữa a và x sao cho với ta có. Các công thức trên gọi là khai triển Taylor của hàm f tại a. Trong trường hợp ,khai triển Taylor còn được gọi là khai triển Mac Laurin. Chú ý. Các khai triển Taylor và Mac Laurin là duy nhất.[ Mục lục ] Các ví dụ1. Hàm f khả vi trên khi đó giữa hai nghiệm thực của phương trình có ít nhất một nghiệm của phương trình .Thật vậy, gọi là hai nghiệm khác nhau của phương trình . Theođịnh lí Roll thì tồn tại sao cho .2. Sử dụng các định lí trung bình để chứng minh các đẳng thức saua. .Áp dụng đính lí Lagrange cho hàm trên thếthì tồn tại sao cho .Suy rab. với * Chứng minh với- Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với .- Với thì bất đẳng thức đúng.- Với . Xét hàm . Hàm thỏa mãn giả thiết củađịnh lý Lagrange. Vậy, tồn tại sao choVậy với .Chứng minh với . Xét hàm . Ta có . với . Vậy là hàm đồng biến. Suy ra với , do đó với .Vậy với .c. .Xét hàm . Theo định lí Lagrange, tồn tại sao cho .3. Viết công thức Cauchy cho hàm trên đoạn[a,b].Do hàm và liên tục trên , khả vi trên nên tồn tại sao cho .4. Chứng minh rằng phương trình có không quá nghiệmthực nếu n là số tự nhiên chẵn, có không quá 3 nghiệm thực nếu n là số tự nhiên lẻ. - N ếu phương trình trở thành Phương trình này có tối đa 2 nghiệmthực .- N ếu Đặ t Ta có + Nếu chẵn thì lẻ và chỉ có nghiệmVậy có tối đa 2 nghiệm. + Nếu lẻ thì chẵn có tối đa 2 nghiệm.Vậy có tối đa 3 nghiệm .5. Cho liên tục trên đoạn và khả vi trên khoảng .Giả sử ...