Định lý Carnot về sự đồng quy của các đường vuông góc với các cạnh của tam giác và ứng dụng

Nội dung chính của bài viết trình bày định lý Carnot về sự đồng quy của các đường vuông góc với các cạnh của tam giác và ứng dụng. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý Carnot về sự đồng quy của các đường vuông góc với các cạnh của tam giác và ứng dụng ĐỊNH LÝ CARNOT VỀ SỰ ĐỒNG QUY CỦA CÁC ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VŨ THANH TÙNG, NGUYỄN CHƯƠNG CHÍ1. Lời giới thiệuVừa qua trên Forum Bài toán hay–Lời giải đẹp–Đam mê toánhọc đã diễn ra một cuộc thảo luận rất sôi nổi giữa các thànhviên về một đề tài mà chúng tôi sẽ đề cập trong bài báo này.Đầu tiên là một bài toán hay một giả thiết được đưa ra bởi ĐàoThanh Oai. Khi đó, giả thiết này vẫn chưa có lời giải.Bài toán 1 (Đề bài của Đào Thanh Oai [1]). Cho tam giácABC có Ma , Mb , Mc là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB vàHa , Hb , Hc là chân các đường cao tương ứng với các đỉnh A, B, C.Gọi A1 , B1 , C1 là tâm của ba đường tròn (AMb Hc ), (BMc Ha ) và(CMa Hb ). Chứng minh rằng ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vàvuông góc với ba cạnh BC, CA, AB đồng quy.Bài toán là một thử thách không nhỏ khi có rất nhiều điểm,nhiều đường. Trong khi đó, phương pháp chứng minh đồng quylại rất đa dạng là sử dụng tứ giác nội tiếp, Ceva, Desargues, v.v.Tuy vậy, bài toán trên không quá phức tạp. Sử dụng định lýCarnot, chúng tôi đã chứng minh được bài toán trên một cáchkhá gọn gàng.Ngay sau khi bài toán được chứng minh, đã có rất nhiều nghiêncứu sâu hơn và những hướng mở rộng khác nhau.Bài toán 2 (Nguyễn Ngọc Giang [1]). Cho tam giác ABC cóMa , Mb , Mc là ba trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi P làmột điểm bất kỳ trên mặt phẳng chứa tam giác ABC và có cáchình chiếu vuông góc xuống BC, CA, AB lần lượt là Pa , Pb , Pc . GọiA1 , B1 , C1 là tâm của ba đường tròn (AMb Pc ), (BMc Pa ), (CMa Pb ).Chứng minh rằng ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 và vuông gócvới ba cạnh BC, CA, AB đồng quy. 181 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Hình 11.1: Giả thiết của Đào Thanh OaiBài toán 3 (Nguyễn Văn Lợi [1]). Cho tam giác ABC và hai điểmbất kỳ P, N trên mặt phẳng. Gọi hình chiếu vuông góc của Pxuống BC, CA, AB là Pa , Pb và Pc và của N là Na , Nb và Nc . GọiA1 , B1 , C1 là tâm của ba đường tròn (ANb Pc ), (BNc Pa ) và (CNa Pb ).Chứng minh rằng ba đường thẳng qua A1 , B1 , C1 và lần lượtvuông góc với 3 cạnh BC, CA, AB đồng quy.Như vậy ban đầu Đào Thanh Oai dùng trực tâm và tâm ngoạitiếp, tiếp theo đó Nguyễn Ngọc Giang dùng điểm P bất kỳ vàtâm ngoại tiếp, còn Nguyễn Văn Lợi dùng hai điểm bất kỳ P vàN làm dữ liệu cho giả thuyết của mình. Điều đáng lưu ý là ở đâycả ba giả thuyết đều đúng và được chứng minh một cách gọngàng khi dùng định lý Carnot như là một công cụ chính.Đến đây một câu hỏi đặt ra: Nếu chúng ta bỏ qua điều kiệnbộ sáu điểm Na , Nb , Nc , Pa , Pb , Pc là hình chiếu vuông góc của haiđiểm N, P và chỉ để lại điều kiện là các điểm đó nằm trên bacạnh của tam giác thì điều kiện cần và đủ để kết luận bài toánvẫn đúng là gì? Chúng tôi đã nghiên cứu lời giải của các bài 182Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Hình 11.2: Hai tam giác trực giaotoán đưa ra ở trên và đã tìm ra một điều kiện cần và đủ cho bộsáu điểm Na , Nb , Nc , Pa , Pb , Pc sao cho kết luận của bài toán vẫnđúng.Bài toán 4 (Bài toán tổng quát [1]). Cho tam giác ABC và sáuđiểm Na , Pa ∈ BC, Nb , Pb ∈ CA, Nc , Pc ∈ CA. Gọi A1 , B1 , C1 lầnlượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANb Pc , BNc Pavà CNa Pb . Chứng minh rằng các đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vàlần lượt vuông góc với BC, CA, AB đồng quy khi và chỉ khi cácđường trung trực của Na Pa , Nb Pb , Nc Pc đồng quy.Rõ ràng các bài toán ở trên đều là những trường hợp đặc biệtcủa bài toán tổng quát vừa được giới thiệu. Cùng với việc nhắclại nội dung định lý Carnot chúng tôi sẽ đưa ra một khái niệmmới - đại lượng Carnot, kèm theo đó là một số tính chất nhằmtrợ giúp cho việc áp dụng định lý này. Lời giải của bài toán tổngquát cũng sẽ được đưa ra đầy đủ. Cuối cùng là một số bài toándùng để minh họa cho định lý Carnot và để các bạn tự luyệntập. 183 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Hình 11.3: Bài toán tổng quát2. Định lý CarnotXét hai tam giác ABC và A0 B 0 C 0 trên mặt phẳng. Các đườngthẳng d0A , d0B , d0C lần lượt đi qua A0 , B 0 , C 0 và vuông góc với BC, CA, AB.Ta định nghĩa đại lượng Carnot của tam giác A0 B 0 C 0 đối với tamgiác ABC như sau: cABC (A0 B 0 C 0 ) = (A0 B 2 − A0 C 2 ) + (B 0 C 2 − B 0 A2 ) + (C 0 A2 − C 0 B 2 ).Đại lượng mới này được đưa ra vì nó rất tiện lợi cho việc phátbiểu định lý Carnot theo cách mới. Chú ý rằng đại lượng Carnotphụ thuộc vào thứ tự các đỉnh khi ta xét hai tam giác. Nói cáchkhác cABC (A0 B 0 C 0 ) là khác với cABC (B 0 A0 C 0 ) hay cABC (A0 C 0 B 0 ).Định lý 1 (Định lý Carnot - 1803). : [2] Ba đường thẳng d0A , d0B , d0Clần lượt đi qua A0 , B 0 , C 0 và vuông góc với BC, CA, AB đồng ...